Теорема Бондаревой — Шепли

В теории игр теорема Бондаревой — Шепли описывает необходимые и достаточные условия для непустоты ядра в кооперативной игре. В частности, ядро игры непусто тогда и только тогда, когда игра сбалансирована. Теорема была независимо сформулирована Ольгой Бондаревой и Ллойдом Шепли в 1960-х.

Теорема Править

Пусть дана кооперативная игра $⟨<!--\; ⟨\; -->N,v⟩<!--\; ⟩\; -->$$\;\langle N,v\rangle \;$ , в которой $N$$\;\;N\;$  — множество игроков, а функция полезности $v:2^N\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\;v:2^{N}\to \mathbb {R} \;$  определена на множестве всех подмножеств $N$$N$ .
Ядро игры $⟨<!--\; ⟨\; -->N,v⟩<!--\; ⟩\; -->$$\;\langle N,v\rangle \;$  непусто тогда и только тогда, когда для любой функции $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}:2^N\setminus <!--\; \setminus \; -->\{\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\}\to <!--\; \to \; -->[0,1],$$\alpha :2^{N}\setminus \{\varnothing \}\to [0,1],$  где
$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i\in <!--\; \in \; -->N:\underset{S\in <!--\; \in \; -->2^N:i\in <!--\; \in \; -->S}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(S)=1$$\forall i\in N:\sum _{S\in 2^{N}:\;i\in S}\alpha (S)=1$ 
выполнено следующее условие:

$\underset{S\in <!--\; \in \; -->2^N\setminus <!--\; \setminus \; -->\{\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(S)v(S)\le <!--\; \le \; -->v(N).$$\sum _{S\in 2^{N}\setminus \{\emptyset \}}\alpha (S)v(S)\leq v(N).$ 

Литература Править

• Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр // Проблемы кибернетики. Выпуск 10. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 119—139.
• Kannai, Y (1992), The core and balancedness, in Aumann, Robert J. & Hart, Sergiu, Handbook of Game Theory with Economic Applications, Volume I., Amsterdam: Elsevier, с. 355–395, ISBN 978-0-444-88098-7 
• Shapley, Lloyd S. On balanced sets and cores (англ.) // Naval Research Logistics Quarterly  (англ.) (рус. : journal. — 1967. — Vol. 14. — P. 453—460. — doi:10.1002/nav.3800140404.