Кооперативная теория игр

Это статья о термине теории игр. О режиме сетевых игр см. Кооперативная игра (компьютерные игры)

Кооперативная теория игр занимается изучением игр, в которых группы игроков — коалиции — могут объединять свои усилия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых коалиции неприемлемы и каждый обязан играть за себя.

Теория игр занимается изучением конфликтов, то есть ситуаций, в которых группе людей необходимо выработать какое-либо решение, касающееся их всех. Некооперативная теория игр изучает то, как должны действовать игроки, чтобы прийти к тому или иному результату, кооперативная же теория игр изучает вопрос о том, какие исходы достижимы и условия достижения этих исходов.

Математическое представлениеПравить

Согласно определению, кооперативной игрой называется пара $(N,v)$$(N,v)$ , где $N$$N$  — это множество игроков, а $v$$v$  — это функция: $2^N\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$2^{N}\to \mathbb {R}$ , из множества всех коалиций в множество вещественных чисел (так называемая характеристическая функция). Предполагается, что пустая коалиция зарабатывает ноль, то есть $v(\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})=0$$v(\emptyset )=0$ . Характеристическая функция описывает величину выгоды, которую данное подмножество игроков может достичь путём объединения в коалицию. Подразумевается, что игроки примут решение о создании коалиции в зависимости от размеров выплат внутри коалиции.

подмножество множества игроков в кооперативной игре, которые вносят ненулевой вклад в некоторую коалицию, определяется термином носитель и математически по формуле .

$S\subseteq <!--\; \subseteq \; -->N:\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i\in <!--\; \in \; -->S\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}K\subseteq <!--\; \subseteq \; -->N:i\in <!--\; \in \; -->K,v(K)-<!--\; -\; -->v(K\setminus <!--\; \setminus \; -->i)>0,$$S\subseteq N:\forall i\in S~~\exists K\subseteq N:i\in K,v(K)-v(K\setminus i)>0,$ 

где N — множество игроков в кооперативной игре, v — характеристическая функция игры.

Дополнением носителя игры является множество болванов или нулевых игроков, то есть игроков, не вносящих никакого вклада ни в одну из коалиций.

Свойства характеристической функцииПравить

• Монотонность — свойство, при котором у больших (в смысле включения) коалиций выплаты больше: если $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->B\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->v(A)\le <!--\; \le \; -->v(B)$$A\subseteq B\Rightarrow v(A)\leq v(B)$ .
• Супераддитивность — свойство, при котором для любых двух непересекающихся коалиций A и B сумма их выгод по отдельности не больше их выгоды при объединении:

$A\cap <!--\; \cap \; -->B=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->v(A\cup <!--\; \cup \; -->B)\ge <!--\; \ge \; -->v(A)+v(B)$$A\cap B=\emptyset \Rightarrow v(A\cup B)\geq v(A)+v(B)$ 

• Выпуклость — характеристическая функция является выпуклой:

$v(A\cup <!--\; \cup \; -->B)+v(A\cap <!--\; \cap \; -->B)\ge <!--\; \ge \; -->v(A)+v(B)$$v(A\cup B)+v(A\cap B)\geq v(A)+v(B)$ 

Примеры игрПравить

Простые игры — особый вид кооперативных игр, где все выплаты это 1 или 0, то есть коалиции либо «выигрывают», либо «проигрывают». Простая игра называется правильной, если:

$v(A)=1-<!--\; -\; -->v(N\setminus <!--\; \setminus \; -->A)$$v(A)=1-v(N\setminus A)$ .

Значение этого: коалиция выигрывает тогда и только тогда, когда дополняющая коалиция (оппозиция) проигрывает.

Решение кооперативных игрПравить

В соответствии с определением кооперативной игры, множество игроков N в совокупности обладает некоторым количеством определённого блага, которое надлежит разделить между участниками. Принципы этого деления и называются решениями кооперативной игры.

Решение может быть определено как для конкретной игры, так и для класса игр. Естественно, что наибольшей важностью обладают как раз те принципы, которые применимы в широком спектре случаев (то есть для обширного класса игр).

Решение может быть как однозначным (в этом случае для каждой игры решением является единственное распределение выигрышей), так и многозначным (когда для каждой игры могут быть определены несколько распределений). Примерами однозначных решений служат N-ядро и вектор Шепли, примерами многозначных — C-ядро и K-ядро.

• С-ядро
• N-ядро
• K-ядро
• Вектор Шепли

См. такжеПравить

• Кооперативные стохастические игры
• Некооперативная игра
• Кооперативный мат

ЛитератураПравить

• Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4.
• Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: Макс-пресс, 2005. — 272 с. — ISBN 5-317-01388-7.
• Васин А.А. Некооперативные игры в природе и обществе. М.: Макс Пресс, 2005, 412 с. ISBN 5-317-01306-2.
• Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы — Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.