Тензор энергии-импульса

Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.

Компоненты тензора энергии-импульсаПравить

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

$T^{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right).$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T⁰⁰ — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира.
• T¹⁰, T²⁰, T³⁰ — компоненты импульса плотности, умноженные на c.
• T⁰¹, T⁰², T⁰³ — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии T^μν соблюдается равенство: T^0μ = T^μ0
• Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент

$T^{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right)$

есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус.

Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса имеют размерность ML⁻¹T⁻².

Частные случаиПравить

В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{c}^2,p,p,p)$${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$ , где $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$${\rho }$  есть плотность массы, а $p$$p$  — гидростатическое давление.

• В простом случае пылевидной материи тензор энергии-импульса записывается как

$T^{ik}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{u}^i{u}^k$$T^{ik} = \rho\, u^i u^k$ 

где $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — плотность массы (покоя), $u^i,u^k$$u^i, u^k$  — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо еще суммировать (интегрировать) по скоростям.

Канонический тензор энергии-импульсаПравить

В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.

Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) ${\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}={\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}({\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i)$$\mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i )$ , зависящего от полевых функций ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i$$\phi _{i}$  и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:

$\{\begin{array}{l}{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\to <!--\; \to \; -->x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=x^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\\ {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i(x)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i(x).\end{array}$$\begin{cases} x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\ \phi_i(x) \to \phi_i^{\prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x). \end{cases}$ 

Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)

${{T_c}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i-<!--\; -\; -->{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},$${{T_c}^\mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial_{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu ,$ 

который имеет вид

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{T^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\equiv <!--\; \equiv \; -->T_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0.$$\partial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.$ 

Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму

$T^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=g^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{T^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}_{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i-<!--\; -\; -->{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}{g}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}.$$T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g^{\mu\nu} .$ 

Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора $T^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$T^{\mu \nu }$  к симметризованному виду добавлением тензорной величины $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}},$$\frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;,$  где тензор ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$\psi^{\mu\nu\lambda}\;$  антисимметричен по двум последним индексам ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\psi ^{\mu \nu \lambda }=-\psi ^{\mu \lambda \nu }$ . Действительно, для симметризованного ТЭИ

${\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=T^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$\Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda}$ 

автоматически следует закон сохранения ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=0.$$\partial_\nu \Theta^{\mu\nu} = 0 .$ 

Метрический тензор энергии-импульсаПравить

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ $T^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)$$T^ {\mu \nu} (x)$  выражается через вариационную производную по метрическому тензору $g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$g_{\mu \nu }$  в точке $x$$x$  пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

${T_m}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)=\frac{2}{\sqrt{-<!--\; -\; -->g}}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\sqrt{-<!--\; -\; -->g}{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{g}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)}=g^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}-<!--\; -\; -->2\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{g}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}=$${T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g}} \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g_{\mu \nu}}=$ 

$=\frac{2}{\sqrt{-<!--\; -\; -->g}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\sqrt{-<!--\; -\; -->g}{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{g}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(\sqrt{-<!--\; -\; -->g}{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{g}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}}+\dots <!--\; \dots \; -->\right),$$=\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \partial g_{\mu \nu} (x)}-\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\frac {\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial\displaystyle\frac{\partial g_{\mu \nu} (x)}{\partial x^\lambda}}+\ldots\right),$ 

где $g(x)=det\left(g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)\right).$$g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \right ).$  Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

$\frac{c^4}{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G}\left(R_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{g}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}R+\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}{g}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\right)=T_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x),$$\frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R + \Lambda g_{ \mu \nu } \right ) = T_{ \mu \nu } (x),$ 

где $R_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$R_{ \mu \nu }$  — тензор Риччи, $R=g^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{R}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu }$  — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

$T_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->};\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0.$$T^\mu_{\nu;\mu}=0.$ 

Тензор энергии-импульса в классической электродинамикеПравить

Основная статья: Электромагнитный тензор энергии-импульса

В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

$T_{00}=\frac{\mathbf{E}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{D}}{2}+\frac{\mathbf{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{H}}{2}$$T_{00} = \frac{\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf B \cdot \mathbf H}{2}$ 

$\begin{pmatrix} T_{01} & T_{02} & T_{03} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{10} & T_{20} & T_{30} \end{pmatrix} = \frac{1}{c} \left[ \mathbf E \times \mathbf H \right]$ 

$T_{ij}=E_i{D}_j+B_i{H}_j-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}(\mathbf{E}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{D}+\mathbf{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{H})=E_i{D}_j+B_i{H}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}{T}_{00}.$$T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}T_{00}.$ 

Пространственные компоненты $T_{ij}$$T_{ij}$  образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений или тензором натяжений Максвелла.

В ковариантной форме можно записать:

$T^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0}[F^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{F}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}+\frac{1}{4}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{F}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}].$$T^{\mu\nu} = -\frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F_{\alpha}{}^{\nu} + \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}] \,.$ 

ЛитератураПравить

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
  • § 32 — канонический ТЭИ
  • § 94 — метрический ТЭИ.

См. такжеПравить

• Тензор кривизны
• Тензор Эйнштейна