Свёртка тензора

Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности $(m,n)$$(m, n)$ в тензор валентности $(m-<!--\; -\; -->1,n-<!--\; -\; -->1)$$(m-1, n-1)$.

ОпределениеПравить

В простейшем случае, свёртка для простого тензора $v\otimes <!--\; \otimes \; -->f$$v\otimes f$  типа $(1,1)$$(1,1)$ , определяется как скаляр $f(v)$$f(v)$ . Эта операция продолжается линейно на все тензоры типа $(1,1)$$(1,1)$ .

В общем случае, тензор типа $(m,n)$$(m, n)$  можно рассматривать как линейное отображение из пространства тензоров валентности $(n-<!--\; -\; -->1,m-<!--\; -\; -->1)$$(n-1,m-1)$  в пространство тензоров валентности $(1,1)$$(1,1)$ ; для выбора такого представления надо выбрать ко- контравариантный индекс. Свёртка образа даёт отображение из пространства тензоров валентности $(n-<!--\; -\; -->1,m-<!--\; -\; -->1)$$(n-1,m-1)$  в скаляры, то есть тензор валентности $(m-<!--\; -\; -->1,n-<!--\; -\; -->1)$$(m-1, n-1)$ . Он и называется свёрткой тензора по двум данным индексам.

ОбозначенияПравить

В координатах она записывается следующим образом:

$T_{j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\underset{\_<!--\; \_\; -->}{j_0},\dots <!--\; \dots \; -->,j_n}^{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\underset{\_<!--\; \_\; -->}{i_0},\dots <!--\; \dots \; -->,i_n}\to <!--\; \to \; -->T_{j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,j_n}^{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n}=T_{j_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\underset{\_<!--\; \_\; -->}{i_0},\dots <!--\; \dots \; -->,j_n}^{i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\underset{\_<!--\; \_\; -->}{i_0},\dots <!--\; \dots \; -->,i_n}$${T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}} \rightarrow {T^{i_1, \dots, i_n}_{j_1, \dots, j_n}} = {T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n}}$ 

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, то есть в данном случае по $i_0$$i_{0}$ .

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.

Например, $A_j^i{B}_k^j$$A^i_j B^j_k$  есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это

$\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_{ij}{B}_{jk}$$\sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}$ .

В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако в случае если задан метрический тензор, ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:

$A_{ij}{B}_{jk}=A_{ij}{g}^{jm}{B}_{mk}=A_{ij}{B}_k^j=C_{ik}$$A_{ij} B_{jk} = A_{ij} g^{jm} B_{mk} = A_{ij} B^j_{\ k} = C_{ik}$ 

Замечание: операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат (матрицами Якоби) и с компонентами аффинной связности, не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как тензор кривизны.

ПримерыПравить

• Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
• Свёртка $A_j^i{v}^j$$A^i_{\ j} v^j$  вектора v с тензором A ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
• Свёртка $B_{ij}{a}^i{b}^j$$\ B_{ij} a^i b^j$  векторов a и b с тензором B ранга (0,2) является билинейной формой; так свёртка двух векторов с метрическим тензором $g_{ij}{a}^i{b}^j$$\ g_{ij} a^i b^j$  дает их скалярное произведение.
• В том числе $B_{ij}{v}^i{v}^j$$\ B_{ij} v^i v^j$  — квадратичная форма; именно таким образом свертка с метрическим тензором дает квадрат нормы вектора.
• Свёртка $a_j{b}^j$$\ a_j b^j$  ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
• Свёртка $A_j^j$$A^j_{\ j}$  тензора A ранга (1,1) (с собой) является следом матрицы $A_j^i$$A^i_{\ j}$ . Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
• Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи): $B_{jk}^i=L_{jkp}^{iqr}{A}_{qr}^p$$B^i_{jk} = L^{i\ \ \ qr}_{jkp} A^p_{qr}$ 

СвойстваПравить

• Свёртка (корректная) одного или нескольких тензоров (в том числе векторов и скаляров) всегда дает тензор (в том числе, возможно, вектор или скаляр).

ЛитератураПравить

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 2. — Москва: МЦНМО, 2014. — С. 347. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-2013-9.