Таблица Витхоффа

В математике таблица Витхоффа —  бесконечная целочисленная матрица, полученная из последовательности Фибоначчи и названная в честь голландского математика Виллема Абрахама Витхоффа^ru_en. Была определена математиком Моррисоном в 1980 году на основе пар Витхоффа, координат выигрышных позиций в игре Витхоффа; может также быть определена с помощью чисел Фибоначчи и теоремы Цекендорфа или непосредственно через золотое сечение и рекуррентное соотношение, определяющее числа Фибоначчи. Каждое положительное целое число встречается в таблице ровно один раз, и путём сдвига строк таблицы можно получить любую целочисленную последовательность, определяемую рекуррентным соотношением Фибоначчи.

ЗначенияПравить

Массив Витхоффа имеет следующие значения

${\begin{matrix}1&2&3&5&8&13&21&\cdots \\4&7&11&18&29&47&76&\cdots \\6&10&16&26&42&68&110&\cdots \\9&15&24&39&63&102&165&\cdots \\12&20&32&52&84&136&220&\cdots \\14&23&37&60&97&157&254&\cdots \\17&28&45&73&118&191&309&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{matrix}}$  последовательность A035513 в OEIS.

Эквивалентные определенияПравить

Вдохновленный аналогичным массивом, ранее определенным Столярским (1977), Моррисон определил массив Витхоффа следующим образом. Пусть $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$  обозначает золотое сечение; тогда $i$$i$ -я выигрышная позиция в игре Витхоффа задается парой целых положительных чисел $(\lfloor <!--\; \lfloor \; -->i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->,\lfloor <!--\; \lfloor \; -->i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2\rfloor <!--\; \rfloor \; -->)$$(\lfloor i\varphi \rfloor ,\lfloor i\varphi ^{2}\rfloor )$ , где числа в каждой паре определяют две комплементарные последовательности Битти, в которой каждое натуральное число встречается ровно в одной из двух последовательностей. Моррисон определяет первые два числа $m$$m$ -й строка матрицы как пару Витхоффа, задаваемую уравнением $m=\lfloor <!--\; \lfloor \; -->i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->$$m=\lfloor i\varphi \rfloor$ , остальные числа в строке задаются рекуррентным соотношением Фибоначчи. То есть элемент матрицы $A_{m,n}$$A_{m,n}$  определяется как

$A_{m,1}=\lfloor \lfloor <!--\; \lfloor \; -->m\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\rfloor$$A_{m,1}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi \right\rfloor$ ,

$A_{m,2}=\lfloor \lfloor <!--\; \lfloor \; -->m\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2\rfloor$$A_{m,2}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi ^{2}\right\rfloor$ ,

$A_{m,n}=A_{m,n-<!--\; -\; -->2}+A_{m,n-<!--\; -\; -->1}$$A_{m,n}=A_{m,n-2}+A_{m,n-1}$ , $n>2$$n > 2$ .

Представление Цекендорфа натурального числа — представление его в виде суммы различных чисел Фибоначчи, никакие два из которых не являются последовательными членами последовательности Фибоначчи. Как описывает Кимберлинг (1995 г.), числа в каждой строке матрицы имеют представления Цекендорфа, отличающиеся друг от друга сдвигом, а числа в каждом столбце матрицы имеют представления Цекендорфа с одним и тем же наименьшим числом Фибоначчи. В частности, элемент $A_{m,n}$$A_{m,n}$  можно определить как $m$$m$ -е наименьшее число, чьё представление Цекендорфа начинается с $n$$n$ -го числа Фибоначчи.

СвойстваПравить

Каждая пара Витхоффа встречается в таблице Витхоффа ровно один раз, в виде последовательной пары чисел в одной строке, с нечетным индексом для первого элемента пары и четным для второго. Поскольку каждое натуральное число встречается ровно в одной паре Витхоффа, каждое натуральное число встречается ровно один раз и в таблице Витхоффа (Моррисон, 1980).

Таблица Витхоффа содержит любую последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих рекуррентному соотношению Фибоначчи, с точностью до сдвига не более, чем на конечное число позиций. В частности, сама последовательность Фибоначчи представлена первой строкой таблицы, а последовательность Люка, начиная с третьего её члена, представлена второй строкой таблицы (Моррисон, 1980).

СсылкиПравить

• Kimberling, Clark (1995), The Zeckendorf array equals the Wythoff array, Fibonacci Quarterly Т. 33 (1): 3–8, <http://www.fq.math.ca/Scanned/33-1/kimberling.pdf> .
• Morrison, D. R. (1980), A Stolarsky array of Wythoff pairs, A Collection of Manuscripts Related to the Fibonacci Sequence, Santa Clara, Calif: The Fibonacci Association, с. 134–136, <http://www.math.ucsb.edu/~drm/papers/stolarsky.pdf>  Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine.
• Stolarsky, K. B. (1977), A set of generalized Fibonacci sequences such that each natural number belongs to exactly one, Fibonacci Quarterly Т. 15 (3): 224, <http://www.fq.math.ca/Scanned/15-3/stolarsky.pdf> .

Внешние ссылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Wythoff Array (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.