Счётная дырка

Счётной дыркой в линейно упорядоченном множестве $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(X,<)$ $(X,<)$ называется пара множеств $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(A,B)$ $(A,B)$ таких, что:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A,B\subseteq X$ $A,B\subseteq X$ ,

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $|A|,|B|\leqslant \aleph _{0}$ $|A|,|B|\leqslant \aleph _{0}$ (не исключается случай $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A=\varnothing$ $A=\varnothing$ или $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B=\varnothing$ $B=\varnothing$ ),

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A<B$ $A<B$ (то есть все элементы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ меньше всех элементов $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B$ $B$ ),

не существует $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x\in X$ $x\in X$ такого, что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A<x<B$ $A<x<B$

При $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A=\varnothing$ $A=\varnothing$ наличие счётной дырки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(A,B)$ $(A,B)$ означает, что в X нет наименьшего элемента, а при $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B=\varnothing$ $B=\varnothing$ наличие счётной дырки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(A,B)$ $(A,B)$ означает, что в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ $X$ нет наибольшего элемента.

Линейно упорядоченное множество называется счётно насыщенным, если в нём нет счётных дырок.

Известно (Хаусдорф), что все счётно насыщенные линейно упорядоченные множества мощности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\aleph _{1}$ $\aleph_1$ попарно изоморфны.