Сфероид Маклорена

Сферо́ид Макло́рена — сплюснутый сфероид, возникающий в случае вращения самогравитирующего жидкого тела с однородным распределением плотности с постоянной угловой скоростью. Сфероид назван в честь шотландского математика Колина Маклорена, предположившего такую форму Земли в 1742 году. На самом деле Земля существенно менее сплюснута, поскольку не является однородной и обладает плотным железным ядром. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью эллипсоидальной фигуры вращения в состоянии равновесия, поскольку обладает постоянной плотностью.

Формула МаклоренаПравить

Основной источник:

 

Квадрат угловой скорости (в единицах $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\pi G\rho$ ) для сфероида Маклорена

Для сплюснутого сфероида с большой полуосью $a$$a$  и малой полуосью $c$$c$  угловая скорость $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  задаётся формулой Маклорена

$\frac{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=\frac{2\sqrt{1-<!--\; -\; -->e^2}}{e^3}(3-<!--\; -\; -->2e^2)\arcsin <!--\; \; -->e-<!--\; -\; -->\frac{6}{e^2}(1-<!--\; -\; -->e^2),e^2=1-<!--\; -\; -->\frac{c^2}{a^2},$${\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}}(3-2e^{2})\arcsin e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},$ 

где $e$$e$  является эксцентриситетом меридионального сечения сфероида, $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — плотность, $G$$G$  — гравитационная постоянная. Формула предсказывает два возможных типа фигуры равновесия при $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\Omega \rightarrow 0$ , одной из них является сфера ($e\to <!--\; \to \; -->0$$e\rightarrow 0$ ), другой является плоский сфероид ($e\to <!--\; \to \; -->1$$e\rightarrow 1$ ).

Максимальная угловая скорость возникает при эксцентриситете $e=\mathrm{0,929}95$$e=0{,}92995$ , значение квадрата максимальной угловой скорости равно ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2=\mathrm{0,449}331\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\Omega ^{2}=0{,}449331\pi G\rho$ , то есть выше этой скорости фигуры равновесия не существует. Это противоречит наблюдательным данным. Причиной противоречия может быть наличие двух нереалистичных предположений: одно состоит в однородности распределения плотности, другое — в том, что форма поверхности представляет собой простую квадрику.

Момент импульса $L$$L$  сфероида Маклорена задаётся выражением

$\frac{L}{\sqrt{G{M}^3\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a}}}=\frac{\sqrt{3}}{5}{\left(\frac{a}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a}}\right)}^2\sqrt{\frac{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}G\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}},$${\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac {a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,$ 

где $M=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{a}^3\sqrt{1-<!--\; -\; -->e^2}$$M={\frac {4\pi }{3}}\rho a^{3}{\sqrt {1-e^{2}}}$  — масса сфероида, $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a}=(a^{2}c{)}^{1/3}$${\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}$  — средний радиус, то есть радиус сферы такого же объёма, что и сфероид. В более простом выражении

$L=\frac{2}{5}M\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}{a}^2.$$L={\frac {2}{5}}M\Omega a^{2}.$ 

Кинетическая энергия сфероида

$K=\frac{1}{5}M{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2{a}^2.$$K={\frac {1}{5}}M\Omega ^{2}a^{2}.$ 

УстойчивостьПравить

Для сфероида Маклорена с эксцентриситетом более 0,812670 трёхосный эллипсоид Якоби^[en] с тем же моментом импульса обладает меньшей полной энергией. Если такой эллипсоид состоит из вязкой жидкости и не испытывает возмущений, способных нарушить симметрию вращения, то он вытянется и примет форму эллипсоида Якоби, при этом часть энергии перейдёт в тепловую форму. Для аналогичного сфероида из невязкой жидкости возмущения приведут к незатухающим колебаниям.

Сфероид Маклорена с эксцентриситетом более 0,952887 динамически неустойчив. Даже если объект состоит из невязкой жидкости и не теряет энергию, малые возмущения будут расти по экспоненциальному закону. Динамическая неустойчивость подразумевает вековую неустойчивость.