Существенное многообразие

Существенные многообразия — особый тип замкнутых многообразий. Понятие было введено Громовым в исследовании систолического неравенства.

ОпределениеПравить

$n$$n$ -мерное замкнутое многообразие $M$$M$  называется существенным, если существует асферическое топологическое пространство $K$$K$  и непрерывное отображение $M\to <!--\; \to \; -->K$$M\to K$  которое переводит фундаментальный калсс $M$$M$  в ненулевой класс гомологий $K$$K$ .

Иначе говоря, фундаментальный класс $[M]$$[M]$  определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(M)$$\pi _{1}(M)$ . Точнее, если $N$$N$  есть $K({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(M),1)$$K(\pi _{1}(M),1)$  пространство, то отображение $M\to <!--\; \to \; -->N$$M\to N$  индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп даёт нетривиальный гомоморфизм

$H_n(M)\to <!--\; \to \; -->H_n(N).$$H_{n}(M)\to H_{n}(N).$ 

Здесь фундаментальный класс берётся в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и коэффициентами по модулю 2 в противном  случае.

ПримерыПравить

• Все замкнутые поверхности (т. е. 2-мерные многообразия) являются существенными, за исключением 2-сферы S².
• Вещественное проективное пространство $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$$\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$  является существенным, поскольку включение

  $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}{\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}\to \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }$ 

является инъективным в гомологиях и

$\mathbb{R}{\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=K({\mathbb{Z}}_2,1)$$\mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)$ 

— это K(π,1)-пространство конечной циклической группы порядка 2.

• Все компактные асферические многообразия являются существенными (поскольку асферичность подразумевает, что многообразие само уже является K(G,1) пространством).
  • В частности, все компактные гиперболические многообразия^[en] являются существенными.
• Все линзовые пространства являются существенными.

СвойстваПравить

• Связная сумма существенного многообразия с любым замкнутым многообразием существенна.
• Прямое произведение существенных многообразий существенно.
• Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное, также является существенным.
• Для существенных многообразий выполняется систолическое неравенство.
  • Это свойство является первопричиной введения этого определения.