Сублинейная функция

Сублинейной функцией в математике называется функция $f:V\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f: V \rightarrow \R$ над действительным векторным пространством $V$$V$ (более обще вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия:

$f(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}x)=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}f\left(x\right)$$f(\gamma x ) = \gamma f\left( x\right)$  для всех $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}_{+}$$\gamma\in \mathbb{R}_+$ и всех x ∈ V (положительная однородность),

$f(x+y)⩽<!--\; ⩽\; -->f(x)+f(y)$$f(x + y) \leqslant f(x) + f(y)$  для всех x, y ∈ V (субаддитивность).

Эквивалентные определенияПравить

Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство:

$f(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}x+(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})y)⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}f(x)+(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})f(y)$$f(\gamma x + (1 - \gamma) y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)$   для всех x, y ∈ V и $0⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->1$$0 \leqslant \gamma \leqslant 1$ .

Действительно, если функция является положительно однородной и выпуклой, то:

$f(x+y)=2f\left(\frac{x+y}{2}\right)⩽<!--\; ⩽\; -->2\left(\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(y)\right)=f(x)+f(y).$$f(x+y)=2f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leqslant 2\left({\frac {1}{2}}f(x)+{\frac {1}{2}}f(y)\right)=f(x)+f(y).$ 

Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.

Другое альтернативное определение: функция $f:V\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f: V \rightarrow \R$  является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие:

$f(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}x+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}y)⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}f(x)+(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})f(y)$$f(\gamma x + \delta y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)$   для всех x, y ∈ V и всех $0 < \gamma, \delta$ .

ПримерыПравить

• Каждая линейная функция является, очевидно, сублинейной. Сублинейной будет также и функция $p(x)=|f(x)|$$p(x) = |f(x)|$ , если $f(x)$$f(x)$  — линейная.
• Длина вектора в $n$$n$ -мерном евклидовом пространстве является сублинейной функцией. Здесь условие субаддитивности означает, что длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин (неравенство треугольника), а положительная однородность непосредственно следует из определения длины вектора в ${\mathbb{R}}^n.$$\R^n.$ 
• Пусть M — пространство ограниченных последовательностей $x=(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_i,\dots <!--\; \dots \; -->).$$x = (x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots).$ 

Функционал:

$f(x)=\underset{i}{sup}|x_i|$$f(x) = \sup_i |x_i|$ 

является сублинейным.

СвойстваПравить

• $f(0)=0.$$f(0) = 0.$  Данное утверждение получается подстановкой x = 0 в уравнение положительной однородности.
• Ненулевая сублинейная функция может быть неотрицательной, но если $f(x)⩽<!--\; ⩽\; -->0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->V$$f(x) \leqslant 0, \, \forall x \in V$ , тогда данная функция всюду равна нулю. Это следует из неравенства:

$0=f(x+(-<!--\; -\; -->x))⩽<!--\; ⩽\; -->f(x)+f(-<!--\; -\; -->x),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->V$$0 = f(x + (-x)) \leqslant f(x) + f(-x), \, \forall x \in V$ 

согласно которому если f(x) является отрицательным числом то f(-x) должно быть положительным.

• Для любого $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  выполняется неравенство:

$f(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}x)⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}f\left(x\right)$$f(\gamma x ) \geqslant \gamma f\left( x\right)$ 

При $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}>0$$\gamma > 0$  это следует из определения положительной однородности, при $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=0$$\gamma = 0$  — из первого свойства, если же $\gamma < 0$ , то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:

$0⩽<!--\; ⩽\; -->f(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}x)+f(|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|x)=f(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}x)+|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|f(x)$$0 \leqslant f(\gamma x) + f(|\gamma| x) = f(\gamma x) + |\gamma| f( x)$ 

или:

$f(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}x)⩾<!--\; ⩾\; -->-<!--\; -\; -->|\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}|f(x)=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}f(x).$$f(\gamma x) \geqslant - |\gamma| f( x) = \gamma f( x).$ 

См. такжеПравить

• Теорема Хана — Банаха