Структура Ходжа

Структура Ходжа веса $n$$n$, или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки $H_{\mathbb{Z}}$$H_{\mathbb{Z } }$ в действительном векторном пространстве $H_{\mathbb{R}}=H_{\mathbb{Z}}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbb{R}$$H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ и разложения $H_{\mathbb{C}}=\underset{n}{⨁<!--\; ⨁\; -->}{H}^{p,q}$$H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q}$, где $n=p+q$$n=p+q$, комплексного векторного пространства $H_{\mathbb{C}}=H_{\mathbb{Z}}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbb{C}$$H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$, которое называется разложением Ходжа. При этом должно выполняться условие ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{H}}^{p,q}=H^{q,p}$${\bar H}^{{p,\;q}}=H^{{q,\;p}}$, где ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{H}}^{p,q}$${\bar H}^{{p,\;q}}$ — комплексное сопряжённое в $H_{\mathbb{C}}=H_{\mathbb{R}}\underset{\mathbb{R}}{⨂<!--\; ⨂\; -->}\mathbb{C}$$H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$.

Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие убывающей фильтрации, или фильтрации Ходжа, $F^r=\underset{p⩾<!--\; ⩾\; -->r}{⨁<!--\; ⨁\; -->}{H}^{p,q}$$F^{r}=\bigoplus _{{p\geqslant r}}H^{{p,\;q}}$ в $H_{\mathbb{C}}$$H_{\mathbb {C} }$ такой, что ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{F}}^s\cap <!--\; \cap \; -->F^r=0$${\bar F}^{s}\cap F^{r}=0$ при $r+s\ne <!--\; \ne \; -->n$$r+s\neq n$. Тогда подпространства $H^{p,q}$$H^{{p,\;q}}$ восстанавливаются по формуле $H^{p,q}={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{F}}^p\cap <!--\; \cap \; -->F^q$$H^{{p,\;q}}={\bar F}^{p}\cap F^{q}$.

Данную структуру в пространстве $n$$n$-мерных когомологий $H^n(X,\mathbb{C})$$H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ компактного кэлерова многообразия $X$$X$ впервые изучил У. Ходж.

В этом случае подпространства $H^{p,q}$$H^{{p,\;q}}$ описываются как пространства гармонических форм типа $(p,q)$$(p,\;q)$ или как когомологии $H^q(X,{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^p)$$H^{q}(X,\;\Omega ^{p})$ пучков ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^p$$\Omega ^{p}$ голоморфных дифференциальных форм.

Фильтрация Ходжа в $H^n(X,\mathbb{C})$$H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$ возникает из фильтрации комплекса пучков $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\underset{p⩾<!--\; ⩾\; -->0}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^p$$\Omega =\sum _{{p\geqslant 0}}\Omega ^{p}$, $n$$n$-мерные гиперкогомологии которого изоморфны $H^n(X,\mathbb{C})$$H^{n}(X,\;\mathbb {C} )$, подкомплексами вида $\underset{r⩾<!--\; ⩾\; -->p}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^r$$\sum _{{r\geqslant p}}\Omega ^{r}$.

Смешанная структура ХоджаПравить

Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки $H_{\mathbb{Z}}$$H_{\mathbb{Z } }$  в $H_{\mathbb{R}}=H_{\mathbb{Z}}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbb{R}$$H_{\mathbb{R} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{R}$ , возрастающей фильтрации, или фильтрации весов, $W_n$$W_{n}$  в $H_{\mathbb{Q}}=H_{\mathbb{Z}}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbb{Q}$$H_{\mathbb{Q} }=H_{\mathbb{Z } }\otimes \mathbb{Q}$  и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) $F^p$$F^{p}$  в $H_{\mathbb{C}}=H_{\mathbb{Z}}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbb{C}$$H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C}$  таких, что на пространстве $(W_n/W_{n+1})\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbb{C}$$(W_{n}/W_{n+1})\otimes \mathbb {C}$  фильтрации $F^p$$F^{p}$  и ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{F}}^p$${\bar F}^{p}$  определяют чистую структуру Ходжа веса $n$$n$ .

П. Делинь (P. Deligne) в своей работе рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого) как аналог структуры модуля Галуа в этальных когомологиях.

Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории отображений периодов и в теории особенностей гладких отображений.