Степенной ряд
Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .
Пространство степенных рядовПравить
Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из обозначается . Пространство имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.
В определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть
Тогда:
- (при этом необходимо, чтобы соблюдалось )
Сходимость степенных рядовПравить
Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).
Признаки сходимостиПравить
Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
- Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любом компактном подмножестве этого круга.
Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех таких, что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.
- Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:
(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)
Пусть и — два степенных ряда с радиусами сходимости и . Тогда
Если у ряда свободный член нулевой, тогда
Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:
- Признак Д’Аламбера: Если при и выполнено неравенство
- тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .
- Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности , кроме, быть может, точки .
Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.
См.такжеПравить
Вариации и обобщенияПравить
Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:
или, в мультииндексных обозначениях,
где — это вектор , — мультииндекс , — одночлен . Пространство степенных рядов от переменных и коэффициентами из обозначается . В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и -местной суперпозиции. Пусть
Тогда:
См.такжеПравить
Для улучшения этой статьи желательно:
|