Это не официальный сайт wikipedia.org 01.01.2023

Степенной ряд — Википедия

Степенной ряд

(перенаправлено с «Степенные ряды»)

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

F ( X ) = n = 0 a n X n ,

в котором коэффициенты a n берутся из некоторого кольца R .

Пространство степенных рядовПравить

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из R   обозначается R [ [ X ] ]  . Пространство R [ [ X ] ]   имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом R   (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо R  ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В R [ [ X ] ]   определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

F ( X ) = n = 0 a n X n , G ( X ) = n = 0 b n X n , H ( X ) = n = 0 c n X n .  

Тогда:

H = F + G n c n = a n + b n  
H = F G n c n = k + l = n a k b l  
H = F G n c n = s = 1 n a s k 1 + + k s = n b k 1 b k 2 b k s   (при этом необходимо, чтобы соблюдалось b 0 = 0  )
H = F n c n = ( n + 1 ) a n + 1  

Сходимость степенных рядовПравить

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной X   какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимостиПравить

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при x = x 0  , он расходится при всех x   таких, что | x | > | x 0 |  . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга R   (возможно, нулевой или бесконечный), что при | x | < R   ряд сходится абсолютно (и равномерно по x   на компактных подмножествах круга | x | < R  ), а при | x | > R   — расходится. Это значение R   называется радиусом сходимости ряда, а круг | x | < R   — кругом сходимости.

  • Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:
1 R = lim ¯ n + | a n | 1 / n  

(По поводу определения верхнего предела lim ¯ n +   см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть F ( x )   и G ( x )   — два степенных ряда с радиусами сходимости R F   и R G  . Тогда

R F + G min { R F , R G }  
R F G min { R F , R G }  
R F = R F  

Если у ряда G ( x )   свободный член нулевой, тогда

R F G R F R F + 1 R G  

Вопрос о сходимости ряда в точках границы | x | = R   круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

  • Признак Д’Аламбера: Если при n > N   и α > 1   выполнено неравенство
| a n a n + 1 | R ( 1 + α n )  
тогда степенной ряд Σ a n x n   сходится во всех точках окружности | x | = R   абсолютно и равномерно по x  .
  • Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда Σ a n x n   положительны и последовательность a n   монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности | x | = 1  , кроме, быть может, точки x = 1  .

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра x   является предметом изучения теории аналитических функций.

См.такжеПравить

Вариации и обобщенияПравить

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:

F ( X 1 , X 2 , , X n ) = k 1 , k 2 , , k n = 0 + a k 1 , k 2 , , k n X 1 k 1 X 2 k 2 X n k n  

или, в мультииндексных обозначениях,

F ( X ) = α a α X α ,  

где X   — это вектор X = ( X 1 , X 2 , , X n )  , α   — мультииндекс α = ( k 1 , k 2 , , k n )  , X α   — одночлен X α = X 1 k 1 X 2 k 2 X n k n  . Пространство степенных рядов от n   переменных и коэффициентами из R   обозначается R [ [ X 1 , X 2 , , X n ] ]  . В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и n  -местной суперпозиции. Пусть

F ( X ) = α a α X α , G ( X ) = α b α X α , H ( X ) = α c α X α .  

Тогда:

H = F + G α c α = a α + b α  
H = F G α c α = β + γ = α a β b γ  
H = F X i ( k 1 , k 2 , , k n ) c k 1 , k 2 , , k n = ( k i + 1 ) a ( k 1 , k 2 , , k i + 1 , , k n )  

См.такжеПравить