Круг сходимости

Круг сходимости степенного ряда $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^n$$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ — это круг вида

$D=\{z: |z-z_0| <R \}$, $z\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$z\in\mathbb C$,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при $|z-<!--\; -\; -->z_0|>R$$|z-z_0|>R$, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда $R=0$$R = 0$, и может совпадать со всей плоскостью переменного $z$$z$, когда $R=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$R = \infty$.

Радиус сходимостиПравить

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

$\frac{1}{R}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}|a_n{|}^{1/n}$${1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}$ 

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Островского — АдамараПравить

Основная статья: Теорема Адамара о лакунах

Для степенного ряда

$f(z)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k(z-<!--\; -\; -->z_0{)}^k$$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k$ ,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов $a_{k(i)}$$a_{k(i)}$  удовлетворяет

$\frac{k(i+1)}{k(i)}>1+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$${\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta$ 

для некоторого фиксированного $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$ , круг с центром $z_0$$z_{0}$  и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. такжеПравить

• Аналитическое продолжение