Стандартные ошибки в форме Уайта

Стандартные ошибки в форме Уайта или состоятельные при гетероскедастичности стандартные ошибки (HC s.e. — Heteroskedasticity consistent standard errors) — применяемая в эконометрике оценка ковариационной матрицы (в частности и стандартных ошибок) МНК-оценок параметров линейной модели регрессии, которая состоятельна при гетероскедастичности случайных ошибок модели, альтернативная стандартной (классической) оценке, которая в данном случае является несостоятельной.

Сущность и формулаПравить

Истинная ковариационная матрица МНК-оценок параметров линейной модели в общем случае равна:

$V({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS})=(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}(X^{T}VX)(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$V({\hat {b}}_{OLS})=(X^{T}X)^{-1}(X^{T}VX)(X^{T}X)^{-1}$ 

где V — ковариационная матрица случайных ошибок. В случае, если нет гетероскедастичности и автокорреляции (то есть когда $V={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{2}I$$V=\sigma ^{2}I$ ) формула упрощается

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS})={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}$${\hat {V}}({\hat {b}}_{OLS})={\sigma }^{2}(X^{T}X)^{-1}$ 

Поэтому для оценки ковариационной матрицы в классическом случае достаточно использовать оценку единственного параметра — дисперсии случайных ошибок: $s^2=ESS/(n-<!--\; -\; -->k)$$s^{2}=ESS/(n-k)$ , которая, как можно доказать, является несмещённой и состоятельной оценкой.

В общем случае, однако, необходима некоторая оценка неизвестной ковариационной матрицы. В частности, если предполагается наличие гетероскедастичности при отсутствии автокорреляции, ковариционная матрица случайных ошибок является диагональной и все диагональные элементы ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_t^2$$\sigma _{t}^{2}$  неизвестны. В этом случае, общее выражение для ковариационной матрицы оценок можно записать в виде:

$V({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS})=(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}(\underset{t=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_t^2{x}_t{x}_t^T)(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$V({\hat {b}}_{OLS})=(X^{T}X)^{-1}(\sum _{t=1}^{n}\sigma _{t}^{2}x_{t}x_{t}^{T})(X^{T}X)^{-1}$ 

Уайт (White, 1980) показал, что если использовать в этой формуле вместо неизвестных дисперсий ошибок квадраты остатков регрессии, то получается состоятельная оценка:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS})=(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}(\underset{t=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}_t^2{x}_t{x}_t^T)(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}$${\hat {V}}({\hat {b}}_{OLS})=(X^{T}X)^{-1}(\sum _{t=1}^{n}e_{t}^{2}x_{t}x_{t}^{T})(X^{T}X)^{-1}$ 

Необходимо отметить, что данная оценка является состоятельной только при отсутствии автокорреляции случайных ошибок (то есть как и было описано — в случае диагональной ковариационной матрицы случайных ошибок). В случае, если имеется ещё и автокорреляция, то можно использовать стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста.

ЗамечаниеПравить

Иногда приведённую формулу оценки ковариационной матрицы корректируют на множитель $n/(n-<!--\; -\; -->k)$$n/(n-k)$ . Такая корректировка теоретически позволяет получить более точные оценки на малых выборках. В то же время на больших выборках (асимптотически) эти оценки эквивалентны.

См. такжеПравить

• Обобщённый метод наименьших квадратов
• Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста

ЛитератураПравить

• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
• William H. Greene. Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.