Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста

Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста или состоятельные при гетероскедастичности и автокорреляции стандартные ошибки (HAC s.e. — Heteroskedasticity and Autocorrelation consistent standard errors) — применяемая в эконометрике оценка ковариационной матрицы МНК-оценок (в частности и стандартных ошибок) параметров линейной модели регрессии, альтернативная стандартной (классической) оценке, которая состоятельна при гетероскедастичности и автокорреляции случайных ошибок модели (в отличие от несостоятельной в этом случае классической оценки и стандартных ошибок в форме Уайта).

Сущность и формулаПравить

Истинная ковариационная матрица МНК-оценок параметров линейной модели в общем случае равна:

$V({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS})=(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}(X^{T}VX)(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$V({\hat {b}}_{OLS})=(X^{T}X)^{-1}(X^{T}VX)(X^{T}X)^{-1}$ 

где $V$$V$  — ковариационная матрица случайных ошибок. В случае, если нет гетероскедастичности и автокорреляции (то есть когда $V={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{2}I$$V=\sigma ^{2}I$ ) формула упрощается

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS})={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}$${\hat {V}}({\hat {b}}_{OLS})={\sigma }^{2}(X^{T}X)^{-1}$ 

Поэтому для оценки ковариационной матрицы в классическом случае достаточно использовать оценку единственного параметра — дисперсии случайных ошибок: ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}^2=RSS/(n-<!--\; -\; -->k)$${\hat {\sigma }}^{2}=RSS/(n-k)$ , которая, как можно доказать, является несмещенной и состоятельной оценкой. При наличии гетероскедастичности, но без автокорреляции, матрица V диагональна и вместо этих диагональных элементов можно использовать квадраты остатков и получить состоятельные оценки (стандартные ошибки в форме Уайта). В общем случае, кроме гетероскедастичности, может иметь место также и автокорреляция некоторого порядка. Следовательно, кроме диагональных элементов, необходимо оценить внедиагональные элементы, отстоящие от диагонали на L. Ньюи и Уест (Newey, West, 1987) показали, что состоятельными являются оценки следующего вида:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS})=(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}(\underset{t=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{e}_t^2{x}_t{x}_t^T+\underset{j=1}{\overset{L}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{t=j+1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_j{e}_t{e}_{t-<!--\; -\; -->j}(x_t{x}_{t-<!--\; -\; -->j}^T+x_{t-<!--\; -\; -->j}{x}_t^T))(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1}$${\hat {V}}({\hat {b}}_{OLS})=(X^{T}X)^{-1}(\sum _{t=1}^{n}e_{t}^{2}x_{t}x_{t}^{T}+\sum _{j=1}^{L}\sum _{t=j+1}^{n}w_{j}e_{t}e_{t-j}(x_{t}x_{t-j}^{T}+x_{t-j}x_{t}^{T}))(X^{T}X)^{-1}$ 

Данная оценка, как видно из формулы, зависит от выбранной «ширины окна» L и весовых коэффициентов $w_j$$w_{j}$ . Простейший вариант выбора весов — выбрать их равными единице. Однако в этом случае не обеспечивается необходимая положительная определенность матрицы. Второй вариант — веса Бартлета $w_j=1-<!--\; -\; -->j/(L+1)$$w_{j}=1-j/(L+1)$ . Однако более предпочтительным вариантом считаются веса Парзена:

$w_j=\{\begin{array}{l}1-<!--\; -\; -->6(\frac{j}{L+1}{)}^2+6(\frac{j}{L+1}{)}^3,j⩽<!--\; ⩽\; -->(L+1)/2\\ 2(1-<!--\; -\; -->\frac{j}{L+1}{)}^2,j>(L+1)/2\end{array}$$w_{j}={\begin{cases}1-6({\frac {j}{L+1}})^{2}+6({\frac {j}{L+1}})^{3}~,~~j\leqslant (L+1)/2\\2(1-{\frac {j}{L+1}})^{2}~,~~j>(L+1)/2\end{cases}}$ 

Существует также проблема выбора «ширины окна» L. Обычно рекомендуется следующая оценка $L=[4(n/100{)}^{2/9}]$$L=[4(n/100)^{2/9}]$ 

ЗамечаниеПравить

Иногда приведенную формулу оценки ковариационной матрицы корректируют на множитель $n/(n-<!--\; -\; -->k)$$n/(n-k)$ . Такая корректировка теоретически позволяет получить более точные оценки на малых выборках. В то же время на больших выборках (асимптотически) эти оценки эквивалентны.

См. такжеПравить

• Стандартные ошибки в форме Уайта
• Обобщенный метод наименьших квадратов

ЛитератураПравить

• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
• William H. Greene. Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.