Среднее арифметическое взвешенное

Сре́днее арифмети́ческое взве́шенное — математическое понятие, обобщающее среднее арифметическое. Среднее арифметическое взвешенное набора чисел $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},\ldots ,x_{n}$ с весами $w_1,\dots <!--\; \dots \; -->,w_n$$w_{1},\ldots ,w_{n}$ определяется как

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_i\cdot <!--\; \cdot \; -->x_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_i}=\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2+\dots <!--\; \dots \; -->+w_n{x}_n}{w_1+w_2+\dots <!--\; \dots \; -->+w_n}.$${\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}\cdot x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}={\dfrac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\ldots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}}}.$

Основные числа и веса могут быть и вещественными, и комплексными. При этом сумма весов не может быть 0, но могут быть некоторые, не все веса, равные 0.

Если все веса $w_i$$w_{i}$ равны между собой, получается обычное среднее арифметическое. Существуют также взвешенные версии среднего геометрического и среднего гармонического, среднего степенного и их обобщения — среднего по Колмогорову.

Иногда сумма весов равна 1 (например, в голосованиях в процентах как весах), тогда формула упрощается:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_i\cdot <!--\; \cdot \; -->x_i=w_1{x}_1+w_2{x}_2+\dots <!--\; \dots \; -->+w_n{x}_n.$${\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}\cdot x_{i}=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\ldots +w_{n}x_{n}.$

Примеры использованияПравить

В физикеПравить

Средняя скорость тела

Если тело в течение промежутка времени $t_1$$t_{1}$  движется со скоростью $v_1$$v_{1}$ , затем в течение следующего промежутка времени $t_2$$t_{2}$  — со скоростью $v_2$$v_{2}$  и так далее до последнего промежутка времени $t_n$$t_{n}$ , в течение которого оно движется со скоростью $v_n$$v_{n}$ , то средняя скорость движения тела за суммарный промежуток времени ($t_1+t_2+\dots <!--\; \dots \; -->+t_n$$t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}$ ) будет равна взвешенному среднему арифметическому скоростей $v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_n$$v_{1},\ldots ,v_{n}$  с набором весов $t_1,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n$$t_{1},\ldots ,t_{n}$ :

$v_{cp}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{t}_i\cdot <!--\; \cdot \; -->v_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{t}_i}=\frac{t_1{v}_1+t_2{v}_2+\dots <!--\; \dots \; -->+t_n{v}_n}{t_1+t_2+\dots <!--\; \dots \; -->+t_n}.$$v_{cp}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}t_{i}\cdot v_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}t_{i}}}={\dfrac {t_{1}v_{1}+t_{2}v_{2}+\ldots +t_{n}v_{n}}{t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}}}.$ 

Центр масс

Другим примером использования данного понятия в физике является центр масс системы материальных точек, который задаётся формулой:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_c=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m}_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m}_i}=\frac{m_1{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_1+m_2{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_2+\dots <!--\; \dots \; -->+m_n{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_n}{m_1+m_2+\dots <!--\; \dots \; -->+m_n},$${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}}}={\dfrac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}+\ldots +m_{n}{\vec {r}}_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n}}},$ 

где ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_c$${\vec r}_{c}$  — радиус-вектор центра масс,
${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i$${\vec r}_{i}$  — радиус-вектор i-й точки системы,
$m_i$$m_{i}$  — масса i-й точки.

Температура смеси нескольких порций одной жидкости с разными температурами

$t_{cp}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m}_i\cdot <!--\; \cdot \; -->t_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m}_i}=\frac{m_1{t}_1+m_2{t}_2+\dots <!--\; \dots \; -->+m_n{t}_n}{m_1+m_2+\dots <!--\; \dots \; -->+m_n}.$$t_{cp}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}\cdot t_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}}}={\dfrac {m_{1}t_{1}+m_{2}t_{2}+\ldots +m_{n}t_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n}}}.$ ,

где $t_{cp}$$t_{cp}$  — полученная температура смеси,
$t_i$$t_{i}$  — температура i-й порции,
$m_i$$m_{i}$  — масса i-й порции.

В экономикеПравить

Средневзвешенный курс валюты

$C_{cp}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i\cdot <!--\; \cdot \; -->C_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i}=\frac{b_1{C}_1+b_2{C}_2+\dots <!--\; \dots \; -->+b_n{C}_n}{b_1+b_2+\dots <!--\; \dots \; -->+b_n},$$C_{cp}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}\cdot C_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}}}={\dfrac {b_{1}C_{1}+b_{2}C_{2}+\ldots +b_{n}C_{n}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}},$ 

где $C_{cp}$$C_{cp}$  — средневзвешенный курс,
$C_i$$C_i$  — цена по i-ой сделке,
$b_i$$b_i$  — объем i-ой сделки.

См. такжеПравить

• Парадокс Симпсона
• Медианта