Среднее арифметико-геометрическое

Среднее арифметико-геометрическое (арифметико-геометрическое среднее, АГС) — величина, определяющаяся для двух величин $a$$a$ и $b$$b$ как предел последовательности $\{a_N\}$$\{a_{N}\}$, $\{b_N\}$$\{b_{N}\}$, где:

$a_0=a{b}_0=b$$a_{0}=a\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_{0}=b$

$a_1=\frac{a_0+b_0}{2}{b}_1=\sqrt{a_0{b}_0}$$a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}$

$a_2=\frac{a_1+b_1}{2}{b}_2=\sqrt{a_1{b}_1}$$a_{2}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{2}={\sqrt {a_{1}b_{1}}}$

…

$a_N=\frac{a_{N-<!--\; -\; -->1}+b_{N-<!--\; -\; -->1}}{2}{b}_N=\sqrt{a_{N-<!--\; -\; -->1}{b}_{N-<!--\; -\; -->1}}$$a_{N}={\frac {a_{{N-1}}+b_{{N-1}}}{2}}\quad \quad b_{N}={\sqrt {a_{{N-1}}b_{{N-1}}}}$

имеют при $N\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$N\to +\infty$ один и тот же предел:

$\underset{N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{a}_N=\underset{N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{b}_N=M(a,b)$$\lim _{{N\to \infty }}a_{N}=\lim _{{N\to \infty }}b_{N}=M(a,b)$.

АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.

Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин $x$$x$ и $y$$y$ — (общий) предел (убывающей) последовательности $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{x_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ и (возрастающей) последовательности $\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, где $x_0=x$$x_{0}=x$, $y_0=y$$y_{0}=y$ и $z_0=0$$z_{0}=0$.

$x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$$x_{n+1}={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}$

$y_{n+1}=z_n+\sqrt{(x_n-<!--\; -\; -->z_n)(y_n-<!--\; -\; -->z_n)}$$y_{n+1}=z_{n}+{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n})}}$

$z_{n+1}=z_n-<!--\; -\; -->\sqrt{(x_n-<!--\; -\; -->z_n)(y_n-<!--\; -\; -->z_n)}$$z_{n+1}=z_{n}-{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n})}}$

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.

МАГС выразимо посредством АГС, такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса $L$$L$ с полуосями $a$$a$ и $b$$b$:

$L=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}N(a^2;b^2)}{M(a;b)},$$L={\frac {2\pi N(a^{2};b^{2})}{M(a;b)}},$

где $M(x;y)$$M(x;y)$ — АГС чисел $x$$x$ и $y$$y$, а $N(x;y)$$N(x;y)$ — МАГС чисел $x$$x$ и $y$$y$. Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.

ПриложенияПравить

С использованием АГС и МАГС можно вычислять значения некоторых трансцендентных функций и числа $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ . Например, по формуле Гаусса — Саламина:

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=\frac{2M{\left(1;\sqrt{2}\right)}^2}{1-<!--\; -\; -->\underset{j=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{2}^j{c}_j^2},$$\pi ={\frac {2M\left(1;{\sqrt {2}}\right)^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{j}c_{j}^{2}}},$ 

где $c_j=\frac{1}{2}\left(a_{j-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->b_{j-<!--\; -\; -->1}\right)$$c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)$ , $a_0=1$$a_{0}=1$ , $b_0=\sqrt{2}$$b_{0}={\sqrt {2}}$ .

В то же время, если взять:

$a_0=1,b_0=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$a_{0}=1,\quad \quad \quad b_{0}=\cos \alpha$ ,

то

$\underset{N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{a}_N=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2K(\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}$$\lim _{N\to \infty }a_{N}={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}}$ ,

где $K(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$K(\alpha )$  есть полный эллиптический интеграл

$K(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$K(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(1-\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta )^{-{\frac {1}{2}}}d\theta$ .

То есть $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  выражается формулой:

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=\frac{M(\sqrt{2}{)}^2}{N(2)-<!--\; -\; -->1}$$\pi ={\frac {M({\sqrt {2}})^{2}}{N(2)-1}}$ ,

где $M(x)$$M(x)$  — АГС 1 и $x$$x$ , а $N(x)$$N(x)$  — МАГС 1 и $x$$x$ .

Пользуясь этим свойством, а также преобразованиями Ландена, Брент предложил первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций ($e^x,\cos <!--\; \; -->x,\sin <!--\; \; -->x$$e^{x},\cos x,\sin x$ ). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами