Преобразование Ландена

Преобразова́ние Ла́ндена относится к эллиптическим интегралам. Имеет смысл говорить о преобразовании Ландена в узком смысле и в широком смысле. В узком смысле, о котором будет идти речь ниже, британский математик Джон Ланден  (англ.) (рус. (1719—1790) в 1775 году предложил очень удачную замену переменной в неопределённом интеграле, определяющем значение неполного эллиптического интеграла первого рода

$F(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},x_1)=F(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}|x_1^2)=F(\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->};x_1)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x_1^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}},$$F(\varphi ,x_{1})=F(\varphi \,|\,x_{1}^{2})=F(\sin \varphi ;x_{1})=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x_{1}^{2}\sin ^{2}\theta }}},$

то есть в первообразной функции

$\int <!--\; \int \; -->\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x_1^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}.$$\int {\frac {d\theta }{\sqrt {1-x_{1}^{2}\sin ^{2}\theta }}}.$

Предложенная Ланденом замена переменной описывается следующей формулой:

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\frac{\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{x_1+\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}.$$\operatorname {tg} \theta ={\frac {\sin {2}\varphi }{x_{1}+\cos {2}\varphi }}.$

В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий:

$\left(1+\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}\right)\int <!--\; \int \; -->\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}.$$\left(1+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\varphi }}}.$

Параметры x и x₁ связаны зависимостями:

$x=\frac{2\sqrt{x_1}}{x_1+1},$$x={\frac {{2}{\sqrt {x_{1}}}}{x_{1}+1}},$

$x_1=\frac{2\left(1+\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}\right)}{x^2}-<!--\; -\; -->1.$$x_{1}={\frac {{2}\left(1+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{x^{2}}}-1.$

Таким образом, в результате подстановки Ландена неопределённый интеграл преобразуется в неопределённый интеграл того же вида, но с другим параметром и умноженный на некий коэффициент, зависящий от нового параметра. При последовательном применении преобразования параметр x стремится к 1, параметр x₁ к 0. Для этих крайних значений параметра величины неопределённых интегралов очевидны:

$\int <!--\; \int \; -->\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}=\frac{1}{2}\ln <!--\; \; -->\frac{1+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{1-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}},$$\int {\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }},$

$\int <!--\; \int \; -->d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.$$\int {d}\theta =\theta .$

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В вышеприведённых формулах мы использовали т. н. модуль эллиптического интеграла x (x₁). Этот модуль связан с модулярным углом и параметром эллиптического интеграла формулами

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ — модулярный угол;

$x=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$x=\sin \alpha$ — модуль эллиптического интеграла;

$m=x^2={\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$m=x^{2}=\sin ^{2}\alpha$ — параметр эллиптического интеграла.

Легко видеть, что формулы, связывающие значения x и x₁ и углы φ и θ, для случая, когда итерации начинаются с параметров x₁ и θ, можно представить в виде:

$(1+\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)(1+\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{n+1})=2,$$(1+\sin \alpha _{n})(1+\cos \alpha _{n+1})=2,$

$\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{n+1}=x,$$\sin \alpha _{n+1}=x,$

$\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n=x_1,$$\sin \alpha _{n}=x_{1},$

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$$\varphi _{n}=\theta ,$

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{n+1}=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},$$\varphi _{n+1}=\varphi ,$

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{n+1}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n)=\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n\mathrm{tg}<!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n.$$\operatorname {tg} (\varphi _{n+1}-\varphi _{n})=\cos \alpha _{n}\operatorname {tg} \varphi _{n}.$

Если же итерации начинаются с параметров x и φ, то формулы имеют вид:

$(1+\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{n+1})(1+\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)=2,$$(1+\sin \alpha _{n+1})(1+\cos \alpha _{n})=2,$

$\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{n+1}=x_1,$$\sin \alpha _{n+1}=x_{1},$

$\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n=x,$$\sin \alpha _{n}=x,$

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},$$\varphi _{n}=\varphi ,$

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{n+1}=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$$\varphi _{n+1}=\theta ,$

$\sin <!--\; \; -->(2{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{n+1}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n)=\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n.$$\sin({2}\varphi _{n+1}-\varphi _{n})=\sin \alpha _{n}\sin \varphi _{n}.$

Следует указать на некоторую особенность предложенной Ланденом замены переменной, то есть перехода независимой переменной от θ к φ. При изменении угла φ от 0 до π/2 угол θ терпит разрыв. Это обстоятельство необходимо учитывать при численной реализации формулы Ландена.

В широком смысле Ланденом был открыт новый способ вычисления, причём не только эллиптических функций. Его основная идея, заключающаяся в том, что вычисляемую функцию можно представить в виде такого же вида функции, но с другими параметрами, которые при рекурсии стремятся к некоторым пределам, была в дальнейшем широко использована в вычислительной математике. Укажем, что наряду с указанной Ланденом и приведенной выше формулой замены переменной интегрирования, существуют и другие, например такая:

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}={(1-<!--\; -\; -->x_1^2)}^{-<!--\; -\; -->1/4}\frac{1+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}.$$\operatorname {tg} \theta ={(1-x_{1}^{2})}^{-1/4}{\frac {{1}+\sin \varphi }{\cos \varphi }}.$

В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий:

$\frac{1+x}{2}\int <!--\; \int \; -->\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}.$${\frac {1+x}{2}}\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\varphi }}}.$

Параметры x и x1 связаны зависимостями:

$x=\frac{2(1-<!--\; -\; -->\sqrt{(1-<!--\; -\; -->x_1^2)}}{x_1^2}-<!--\; -\; -->1,$$x={\frac {{2}(1-{\sqrt {(1-x_{1}^{2})}}}{x_{1}^{2}}}-1,$

$x_1=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}.$$x_{1}={\frac {{2}{\sqrt {x}}}{x+1}}.$

Ссылки Править

• King L. V. On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals (англ.). — Cambridge University Press, 1924.
• Cayley A. An Elementary Treatise on Elliptic Functions (англ.). — G. Bell and Sons, 1895.
• Almkvist G., Berndt B. Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 1988. — Vol. 95, no. 7. — P. 585—608. — ISSN 0002-9890. — doi:10.1080/00029890.1988.11972055. [исправить]
• Милн-Томсон Л. Гл. 17. Эллиптические интегралы // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 401—441. — 832 с. — 50 000 экз.
• Корн Г., Корн Т. // Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977.
• Сикорский Ю. С. Элементы теории эллиптических функций: С приложением к механике. — Изд. 2-е, испр. — М.: Ком Книга, 2006. — 368 с.