Список логических символов

В логике обычно используется много символов для выражения логических сущностей. Поскольку логики знакомы с этими символами, они не объясняют их каждый раз при использовании. Для студентов, изучающих логику, следующая таблица перечисляет большинство общеупотребимых символов вместе с их именами и связанными областями математики. Кроме того, третий столбец содержит неформальное определение, шестой и седьмой дают код Unicode и имя для использования в HTML- документах^[1]. Последний столбец даёт символ в системе LaTeX.

Учитывайте, что вне логики данные символы, в зависимости от контекста, могут иметь другие значения.

Основные логические символыПравить

Символ	Название	Объяснение	Примеры	Символ в программировании	Значение Unicode	Название в HTML	Символ LaTeX
⇒ → ⊃	Импликация	A ⇒ B ложно, только когда A истинно, а B ложно. → может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также указывать область определения и область значений функции, см. таблицу математических символов). ⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество).	x = 2 ⇒ x² = 4 истинно, но x² = 4 ⇒ x = 2, в общем случае, ложно (поскольку x может быть равен −2).	Отсутствует	U+21D2 U+2192 U+2283	⇒ → ⊃	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Rightarrow$ \Rightarrow $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\to$ \to $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\supset$ \supset $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\implies$ \implies
⇔ ≡ ↔	Тогда и только тогда	A ⇔ B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны.	x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y	`==, ===`	U+21D4 U+2261 U+2194	⇔ &equiv; ↔	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\equiv$ \equiv $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\leftrightarrow$ \leftrightarrow $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\iff$ \iff
¬ ˜ !	отрицание	Утверждение ¬A истинно тогда и только тогда, когда A ложно. Знак /, расположенный поверх другого оператора, означает то же самое, что «¬», помещённое перед выражением.	¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y)	!	U+00AC U+02DC	¬ &tilde; ~	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\neg$ \lnot или \neg $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sim$ \sim
∧ • &	конъюнкция	Утверждение A ∧ B истинно, если и A, и B истинны, и ложно в противном случае.	n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3, если n — натуральное число.	&&	U+2227 U+0026	&and; &	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\wedge$ \wedge или \land \&^[2]
∨ + ǀǀ	логическая дизъюнкция	Утверждение A ∨ B верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны, утверждение неверно.	n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 когда n является натуральным числом.	\|\|	U+2228	&or;	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\lor$ \lor или \vee
⊕ ⊻	исключающее или	Утверждение A ⊕ B верно, когда либо A, либо B верно, но не оба. A ⊻ B означает то же самое.	(¬A) ⊕ A всегда верно, A ⊕ A всегда неверно.	x ^ y	U+2295 U+22BB	&oplus;	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\oplus$ \oplus $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\veebar$ \veebar
⊤ T 1	Тавтология	Утверждение ⊤ безусловно верно.	A ⇒ ⊤ всегда верно.	true	U+22A4	T	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\top$ \top
⊥ F 0	Противоречие	Утверждение ⊥ безусловно неверно.	⊥ ⇒ A всегда неверно.	false	U+22A5	&perp; F	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\bot$ \bot
∀ ()	Квантор всеобщности	∀ x: P(x) или (x) P(x) означает P(x) верно для всех x.	∀ n ∈ ℕ: n² ≥ n.	Отсутствует	U+2200	∀	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\forall$ \forall
∃	Квантор существования	∃ x: P(x) означает, что существует по меньшей мере один x, такой, что P(x) верно.	∃ n ∈ ℕ: n чётно.	Отсутствует	U+2203	∃	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\exists$ \exists
∃!	Единственность	∃! x: P(x) означает, что существует ровно один x, такой, что P(x) верно.	∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n.	Отсутствует	U+2203 U+0021	∃ !	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\exists !$ \exists !
:= ≡ :⇔	Определение	x := y илиx ≡ y означает, что x является другим обозначением для y (но заметьте, что ≡ может означать и другое, как, например, конгруэнтность). P :⇔ Q означает, что P логически эквивалентно Q.	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)	Отсутствует	U+2254 (U+003A U+003D) U+2261 U+003A U+229C	:= : &equiv; ⇔	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $:=$ := $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\equiv$ \equiv $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow
()	приоритетная группировка	Операции внутри скобок выполняются первыми.	(8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1, но 8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4.	Аналогично	U+0028 U+0029	()	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(~)$ ()
⊢	Выводимо	x ⊢ y означает, что y выводимо из x (в некоторых формальных системах).	A → B ⊢ ¬B → ¬A	Отсутствует	U+22A2	⊢	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\vdash$ \vdash
⊨	Модель^[en]	x ⊨ y означает, что x семантически влечёт за собой y	A → B ⊨ ¬B → ¬A	Отсутствует	U+22A8	⊨	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\vDash$ \vDash

Расширенные и редко используемые символыПравить

Символы отсортированы согласно коду Unicode:

U+00B7 • Точка в середине, устаревший способ обозначения AND^[3], остаётся употребимым в электронике, например, «A•B» означает то же самое, что и «A&B»
• : Центральная точка с чертой над ней, устаревший способ для обозначения И-НЕ, например, «A•B» означает то же, что и «A И-НЕ B», или «A|B», или «¬(A & B)». См. также символ Unicode U+22C5 ⋅ оператор точка.

U+0305 ◌̅ Комбинируемое надчёркивание, используется для сокращения стандартных представлений чисел (Типографическая теория чисел^[en]). Например, «4̅» является сокращённым написанием стандартного числа «SSSS0».
Надчёркивание также иногда используется для обозначения нумерации Гёделя, например, «AVB» обозначает номер Гёделя для «(AVB)»
Надчёркивание также является устаревшим способом обозначения отрицания, но продолжает использоваться в электронике, например, «AVB» означает то же самое, что и «¬(AVB)»^[4]

U+2191 ↑ Стрелка вверх или U+007C | Вертикальная черта: Штрих Шеффера, знак для оператора И-НЕ.
U+2201 ∁ Дополнение
U+2204 ∄ Не существует: перечёркнутый квантор существования, то же самое, что и «¬∃»
U+2234 ∴ Следовательно, таким образом, поэтому^[en]
U+2235 ∵ Поскольку, потому что, вследствие того, что^[en]
U+22A7 ⊧ Импликация (логическое следование): является моделью для …. Например, A ⊧ B означает, что из A следует B. В любой модели, где A ⊧ B, если А верно, то и B верно.
U+22A8 ⊨ Истина: является истиной.
U+22AC ⊬ Невыводимо: отрицание ⊢, символ невыводимо, например, T ⊬ P означает, что «P не является теоремой в T»
U+22AD ⊭ Неверно: не является истиной
U+22BC ⊼ НЕ-И: другой оператор НЕ-И, может быть записан также как ∧
U+22BD ⊽ ИЛИ-НЕ: оператор Исключающее ИЛИ, может быть записан также как V
U+22C4 ⋄ Ромб: модальный оператор для «возможно, что», «не обязательно нет» или, редко, «непротиворечиво» (в большинстве модальных логик оператор определяется как «¬◻¬»)
U+22C6 ⋆ Звёздочка: обычно используется как специальный оператор
U+22A5 ⊥ Кнопка вверх или U+2193 ↓ Стрелка вниз: стрелка Пирса, символ исключающего ИЛИ. Иногда «⊥» используется для противоречия или абсурда.

U+2310 ⌐ Отменённый НЕ

U+231C ⌜ Левый верхний уголок и U+231D ⌝ Правый верхний уголок: угловые скобки, также называемые «кавычками Куайна». Используется как квазикавычки, то есть выделение определённого контекста неопределённого выражения («переменной»)^[5]. Используется также для чисел Гёделя^[6]. Например, «⌜G⌝» обозначает число Гёделя для G. (Типографическое замечание: хотя кавычки появляются всегда в «паре» в (231C и 231D в Unicode), они не всегда симметричны в некоторых шрифтах, а в некоторых шрифтах, таких как Arial, они симметричны только при определённых размерах букв). Альтернативно кавычки могут быть представлены как ⌈ и ⌉ (U+2308 и U+2309) или с помощью символов отрицания и обратного отрицания ⌐ ¬ в верхнем индексе.)

U+25FB ◻ Средний белый квадрат или U+25A1 □ Белый квадрат: модальный оператор необходимо, чтобы (в модальной логике), или доказуемо (в логике доказуемости^[en]^[7]), или обязательно (в нормативной логике), или убеждены, что (в доксастической логике^[en]).

Следующие операторы редко поддерживаются стандартными шрифтами. Если вы хотите использовать их на своей странице, вам следует всегда встраивать нужные шрифты, чтобы браузер мог отражать символы без необходимости устанавливать шрифты на компьютер.

U+27E1 ⟡ Незакрашенный ромб с вогнутыми сторонами
U+27E2 ⟢ Незакрашенный ромб с вогнутыми сторонами и чёрточкой влево: модальный оператор для никогда не было
U+27E3 ⟣ Незакрашенный ромб с вогнутыми сторонами и чёрточкой вправо: модальный оператор для никогда не будет
U+27E4 ⟤ Незакрашенный квадрат с чёрточкой влево: модальный оператор для всегда было
U+27E5 ⟥ Незакрашенный квадрат с чёрточкой вправо: модальный оператор для всегда будет
U+297D ⥽ Хвост рыбы, направленный вправо: иногда употребляется для «связи», а также для обозначения различных случайных связей (например, для обозначения «свидетельствования» в контексте трюка Россера^[en]). Рыбий хвост использовался также Льюисом (C.I.Lewis) для обозначения строгой импликации $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p$ U+⥽ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $q\equiv \Box (p\rightarrow q)$ , соответствующий макрос LaTeX — \strictif. См. здесь изображение знака. Знак добавлен в Unicode 3.2.0.

Польша и ГерманияПравить

В Польше квантор всеобщности иногда записывается как $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\wedge$ , а квантор существования как $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\vee$ . То же самое наблюдается в немецкой литературе.

См. такжеПравить

Юзеф Мария Бохеньский
Список обозначений, используемых в книге «Основания математики»^[en]
Таблица математических символов
Логический алфавит^[en], предлагается множество символов для логики
Логическая операция
Математические операции и символы в Unicode^[en]
Польская нотация
Булева функция
Таблица истинности

ПримечанияПравить

↑ Named character references (неопр.). HTML 5.1 Nightly. W3C. Дата обращения: 9 сентября 2015. Архивировано 28 января 2016 года.
↑ Хотя этот символ доступен в LaTeX, система MediaWiki TeX его не поддерживает.
↑ Brody, 1973, с. 93.
↑ См., например, [1] Архивная копия от 25 сентября 2015 на Wayback Machine
↑ Quine, W.V. (1981): Mathematical Logic, § 6
↑ Hintikka, 1998, с. 113.
↑ Беклемишев Л. Д. Что такое логика доказуемости Архивная копия от 18 ноября 2015 на Wayback Machine, Летняя школа «Современная математика», 2013

ЛитератураПравить

Baruch A. Brody. Logic: theoretical and applied. — Prentice-Hall, 1973. — ISBN 9780135401460.
Jaakko Hintikka. The Principles of Mathematics Revisited. — Cambridge University Press, 1998. — ISBN 9780521624985.

Литература для дальнейшего чтенияПравить

Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic, trans., Otto Bird, from the French and German editions, Dordrecht, South Holland: D. Reidel.

СсылкиПравить

Named character entities in HTML 4.0

[1] Named character references (неопр.). HTML 5.1 Nightly. W3C. Дата обращения: 9 сентября 2015. Архивировано 28 января 2016 года.

[2] Хотя этот символ доступен в LaTeX, система MediaWiki TeX его не поддерживает.

[_a3a1378b2e416e91-3] Brody, 1973, с. 93.

[4] См., например, [1] Архивная копия от 25 сентября 2015 на Wayback Machine

[5] Quine, W.V. (1981): Mathematical Logic, § 6

[_bb5df913f33e3cb2-6] Hintikka, 1998, с. 113.

[7] Беклемишев Л. Д. Что такое логика доказуемости Архивная копия от 18 ноября 2015 на Wayback Machine, Летняя школа «Современная математика», 2013

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]