Спектр сигнала

Спектр сигнала — коэффициенты разложения сигнала в базисе ортогональных функций. Называют также спектральным образом сигнала. Само разложение называют спектральным разложением сигнала. В радиотехнике для разложения обычно используются классическое преобразование Фурье; также применяют разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др.

Базисные функцииПравить

Основная статья: Базисная функция

Базисная функция — функция, которая является элементом базиса в функциональном пространстве. В радиотехнике обычно осуществляют гармонический анализ сигнала, в качестве базисных функций используя синусоидальные функции. Это объясняется рядом обстоятельств:

• функции $\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$\cos(\omega t)$ , $\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$\sin(\omega t)$  являются простыми и определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;
• гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;
• для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа;
• гармоническое колебание легко реализуемо на практике.

Обобщённый спектрально-аналитический метод предусматривает использование кроме гармонического ряда Фурье также и другие виды спектральных разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышёва и др.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

ПрименениеПравить

Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.

На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.

Математическое представлениеПравить

Спектр периодического сигнала $s(t)$$s(t)$  имеет вид:

$C_n=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int <!--\; \int \; -->}}s(t)e^{-<!--\; -\; -->in{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{1}t}dt$$C_{n}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}s(t)e^{-in\omega _{1}t}dt$ , где $T$$T$  — период сигнала $s(t)$$s(t)$ , ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/T$$\omega _{1}=2\pi /T$ , $n$$n$  — целое.

Спектр непериодического сигнала $s(t)$$s(t)$  можно записать через преобразование Фурье (можно без коэффициента $1/\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$1/{\sqrt {2\pi }}$ ) в виде:

$S(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}s(t)e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}dt$$S(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i\omega t}dt$ , где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — угловая частота, равная $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f$$2\pi f$ .

Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: $S(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=A(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$$S(\omega )=A(\omega )e^{-i\phi (\omega )}$ , где $A(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$A(\omega )$  — амплитудный спектр сигнала, $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$\phi (\omega )$  — фазовый спектр сигнала.

Если под сигналом $s(t)$$s(t)$  понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то энергия сигнала, выделяемая на этом резисторе на интервале времени $(0,T)$$(0,\ T)$ , будет равна $E=\underset{0}{\overset{T}{\int <!--\; \int \; -->}}{s}^2(t)dt$$E=\int \limits _{0}^{T}s^{2}(t)dt$ , средняя мощность — $W=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int <!--\; \int \; -->}}{s}^2(t)dt$$W={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}s^{2}(t)dt$ .

См. такжеПравить

• Гармонический анализ
• Преобразование Фурье
• Спектральная плотность