Дискретное преобразование Хартли

Дискретное преобразование Хартли (сокращённо ДПХ) — разновидность дискретного ортогонального тригонометрического преобразования. Во многих случаях может служить заменой дискретного преобразования Фурье.

ОпределениеПравить

Последовательность $N$$N$  действительных чисел $h_0$$h_{0}$ , $h_1$$h_1$ , … , $h_{N-<!--\; -\; -->1}$$h_{N-1}$  преобразуется в последовательность $N$$N$  действительных чисел $H_0$$H_{0}$ , $H_1$$H_1$ , … , $H_{N-<!--\; -\; -->1}$$H_{N-1}$  с помощью дискретного преобразования Хартли по формуле:

$H_k=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{h}_n\mathrm{cas}<!--\; \; -->\left(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{N}nk\right),k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,N-<!--\; -\; -->1,$$H_{k}={\dfrac {1}{N}}\sum \limits _{n=0}^{N-1}h_{n}\operatorname {cas} \left({\dfrac {2\pi }{N}}nk\right),\ k=0,\ldots ,N-1,$ 

где $\mathrm{cas}<!--\; \; -->x=\cos <!--\; \; -->x+\sin <!--\; \; -->x$$\operatorname {cas} x=\cos x+\sin x$ . Обратное дискретное преобразование Хартли задаётся формулой:

$h_n=\underset{k=0}{\overset{N-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{H}_k\mathrm{cas}<!--\; \; -->\left(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{N}nk\right),n=0,\dots <!--\; \dots \; -->,N-<!--\; -\; -->1.$$h_{n}=\sum \limits _{k=0}^{N-1}H_{k}\operatorname {cas} \left({\dfrac {2\pi }{N}}nk\right),\ n=0,\ldots ,N-1.$ 

Следует отметить, что в отличие от дискретного преобразования Фурье (сокращённо ДПФ), преобразование Хартли даёт ряд действительных чисел.

Имеют место следующие формулы перехода от ДПФ (последовательность $F_0$$F_{0}$ , $F_1$$F_{1}$ , … , $F_{N-<!--\; -\; -->1}$$F_{N-1}$ ) к ДПХ и наоборот:

$H_k=\mathrm{Re}<!--\; \; -->F_k-<!--\; -\; -->\mathrm{Im}<!--\; \; -->F_k,$$H_{k}=\operatorname {Re} F_{k}-\operatorname {Im} F_{k},$ 

$F_k=\frac{1}{2}(H_k+H_{N-<!--\; -\; -->k})-<!--\; -\; -->i\frac{1}{2}(H_k-<!--\; -\; -->H_{N-<!--\; -\; -->k}),k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,N-<!--\; -\; -->1.$$F_{k}={\dfrac {1}{2}}(H_{k}+H_{N-k})-i{\dfrac {1}{2}}(H_{k}-H_{N-k}),\ k=0,\ldots ,N-1.$ 

Быстрое преобразование ХартлиПравить

Идея быстрого преобразования Хартли (сокращённо БПХ) такая же, как и у быстрого преобразования Фурье (сокращённо БПФ): за счет симметрии можно сократить количество вычислений.

Пусть из исходной последовательности $h_0$$h_{0}$ , $h_1$$h_1$ , … , $h_{N-<!--\; -\; -->1}$$h_{N-1}$  получены две новые последовательности длины $N$$N$ , равные $\left(h_0,0,h_2,0,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\left(h_{0},0,h_{2},0,\ldots \right)$  и $\left(0,h_1,0,h_3,\dots <!--\; \dots \; -->\right)$$\left(0,h_{1},0,h_{3},\ldots \right)$  и пусть их ДПХ равны соответственно $H_{1,k}$$H_{1,k}$  и $H_{2,k}$$H_{2,k}$ , где $k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,N-<!--\; -\; -->1$$k=0,\ldots ,N-1$ . В этих обозначениях общая формула БПХ имеет следующий вид:

$H_k=H_{1,k}+H_{2,k}\cos <!--\; \; -->\left(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{N}k\right)+H_{2,N-<!--\; -\; -->k}\sin <!--\; \; -->\left(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{N}k\right).$$H_{k}=H_{1,k}+H_{2,k}\cos \left({\dfrac {2\pi }{N}}k\right)+H_{2,N-k}\sin \left({\dfrac {2\pi }{N}}k\right).$ 

С помощью указанных выше формул перехода от ДПХ к ДПФ можно использовать БПХ для вычисления БПФ, что упрощает вычисления ввиду отсутствия комплексных умножений.

ЛитератураПравить

• Брейсуэлл, Р. Преобразование Хартли (рус.). — М.: Мир, 1990. — 175 с. — ISBN 5-03-001632-5.

См. такжеПравить

• Дискретное комплексное преобразование