След матрицы

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если $a_{ij}$$a_{{ij}}$ элементы матрицы $A$$A$, то её след $\mathrm{t}\mathrm{r}A=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{ii}$${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A=\sum _{i}a_{{ii}}$. Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree).

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: $\mathrm{t}\mathrm{r}A$$\mathop {\rm {tr}} \;A$ (от англ. trace — след), и $\mathrm{S}\mathrm{p}A$${\mathop {{\rm {Sp}}}}\;A$ (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности компонент, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: $\mathrm{t}\mathrm{r}A=I_1(A)=g\cdot <!--\; \cdot \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->A$${\rm {tr}}A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A$.

ОпределениеПравить

Под следом квадратной матрицы $A$$A$  размера $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$  понимают:

$\mathrm{t}\mathrm{r}A=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_{n,n},$$\mathrm {tr} \;A=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{n,n},$ 

где $a_{i,i}$$a_{i,i}$  — элементы главной диагонали:

$\mathrm {tr} \;{\begin{pmatrix}\color {red}{a_{1,1}}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\color {red}{\ddots }&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &\color {red}{a_{n,n}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\color {red}{a_{i,i}}$ .

СвойстваПравить

• Линейность $\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}A+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}B)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{t}\mathrm{r}A+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{t}\mathrm{r}B$${\mathop {{\rm {tr}}}}\;(\alpha A+\beta B)=\alpha {\mathop {{\rm {tr}}}}\;A+\beta {\mathop {{\rm {tr}}}}\;B$ .
• $\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)$${\mathop {{\rm {tr}}}}\;(AB)={\mathop {{\rm {tr}}}}\;(BA)$ .

  Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: $\mathrm{t}\mathrm{r}(C^{-<!--\; -\; -->1}AC)=\mathrm{t}\mathrm{r}A$$\mathop {\rm {tr}} \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr}} \;A$ .

• $\mathrm{t}\mathrm{r}A=\mathrm{t}\mathrm{r}{A}^{\mathrm{T}}$${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A={\mathop {{\rm {tr}}}}\;A^{{\mathrm {T}}}$ , где $\mathrm{T}$$\mathrm{T}$  означает операцию транспонирования.
• $\ln <!--\; \; -->detA=\mathrm{t}\mathrm{r}\ln <!--\; \; -->A$$\ln \det A={\mathop {{\rm {tr}}}}\;\ln A$ .
• Если $A\otimes <!--\; \otimes \; -->B$$A\otimes B$  тензорное произведение матриц A и B, то $\mathrm{t}\mathrm{r}A\otimes <!--\; \otimes \; -->B=(\mathrm{t}\mathrm{r}A)(\mathrm{t}\mathrm{r}B)$${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A\otimes B=({\mathop {{\rm {tr}}}}\;A)({\mathop {{\rm {tr}}}}\;B)$ .
• След матрицы равен сумме её собственных значений.
• Определитель квадратной матрицы $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$  можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие $n$$n$ . Например $det{A}_{3\times <!--\; \times \; -->3}=\frac{1}{6}\left((\mathrm{t}\mathrm{r}<!--\; \; -->A{)}^3-<!--\; -\; -->3\mathrm{t}\mathrm{r}<!--\; \; -->A\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{t}\mathrm{r}<!--\; \; -->A^2+2\mathrm{t}\mathrm{r}<!--\; \; -->A^3\right)$$\det A_{{3\times 3}}={\frac {1}{6}}\left(({\mathop {{\rm {tr}}}}A)^{3}-3{\mathop {{\rm {tr}}}}A\cdot {\mathop {{\rm {tr}}}}A^{2}+2{\mathop {{\rm {tr}}}}A^{3}\right)$ .

Геометрическое свойствоПравить

• $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}<!--\; \; -->(E+G\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})=1+\mathrm{t}\mathrm{r}<!--\; \; -->G\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+o(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$${\mathop {{\rm {det}}}}(E+G\varepsilon )=1+{\mathop {{\rm {tr}}}}G\ \varepsilon \ +o(\varepsilon )$ ,

где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.

• Следствия:
  • $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}<!--\; \; -->\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}<!--\; \; -->(G\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=1+\mathrm{t}\mathrm{r}<!--\; \; -->G\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$${\mathop {{\rm {det}}}}\ {\mathop {{\rm {exp}}}}(G\alpha )=1+{\mathop {{\rm {tr}}}}G\ \alpha \$  для малых α
  • Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. такжеПравить

• След (теория полей)

СсылкиПравить

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Trace of a square matrix, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4