Теоремы Силова

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.

ОпределенияПравить

Пусть $G$$G$  — конечная группа, а $p$$p$  — простое число, которое делит порядок $G$$G$ . Подгруппы порядка $p^t$$p^t$  называются $p$$p$ -подгруппами.

Выделим из порядка группы $G$$G$  максимальную степень $p$$p$ , то есть $|G|=p^{n}s$$|G| = p^ns$ , где $s$$s$  не делится на $p$$p$ . Тогда силовской $p$$p$ -подгруппой называется подгруппа $G$$G$ , имеющая порядок $p^n$$p^{n}$ .

ТеоремыПравить

Пусть $G$$G$  — конечная группа. Тогда:

1. Силовская $p$$p$ -подгруппа существует.
2. Всякая $p$$p$ -подгруппа содержится в некоторой силовской $p$$p$ -подгруппе. Все силовские $p$$p$ -подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде $gP{g}^{-<!--\; -\; -->1}$$gPg^{-1}$ , где $g$$g$  — элемент группы, а $P$$P$  — силовская подгруппа из теоремы 1).
3. Количество силовских $p$$p$ -подгрупп $N_p$$N_p$  сравнимо с единицей по модулю $p$$p$  ($N_p\equiv <!--\; \equiv \; -->1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$$N_{p}\equiv 1\;{{\rm {mod\,}}}p$ ) и делит $s$$s$ , где $|G|=p^{k}s$$|G|=p^{k}s$  и $(p,s)=1$$(p,s)=1$ .

СледствиеПравить

Если все делители $|G|$$|G|$ , кроме 1, после деления на $p$$p$  дают остаток, отличный от единицы, то в $G$$G$  есть единственная силовская $p$$p$ -подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. $350=2\cdot <!--\; \cdot \; -->5^2\cdot <!--\; \cdot \; -->7$$350 = 2\cdot 5^2\cdot 7$ , значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. $N_5$$N_5$  должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в $G$$G$  одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому $G$$G$  не может быть простой.

ДоказательстваПравить

Пусть $p^n$$p^{n}$  — примарный по $p$$p$  делитель порядка $G$$G$ .

1. Докажем теорему индукцией по порядку $G$$G$ . При $|G|=p$$|G|=p$  теорема верна. Пусть теперь $|G|>p$$|G|>p$ . Пусть $Z(G)$$Z(G)$  — центр группы $G$$G$ . Возможны два случая:

а) $p$$p$  делит $|Z|$$|Z|$ . Тогда в центре существует циклическая группа $⟨<!--\; ⟨\; -->a{⟩<!--\; ⟩\; -->}_{p^k}$$\langle a\rangle _{p^{k}}$  (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в $G$$G$ . Факторгруппа $G$$G$  по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем $G$$G$ , значит, по предположению индукции, в ней существует силовская $p$$p$ -подгруппа. Рассмотрим её прообраз в $G$$G$ . Он и будет нужной нам силовской $p$$p$ -подгруппой $G$$G$ .

б) $p$$p$  не делит $|Z|$$|Z|$ . Тогда рассмотрим разбиение $G$$G$  на классы сопряжённости: $|G|=|Z|+\sum <!--\; \sum \; -->|K_a|$$|G| = |Z| + \sum |K_a|$  (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок $G$$G$  делится на $p$$p$ , значит, должен найтись класс $K_a$$K_{a}$ , порядок которого не делится на $p$$p$ . Соответствующий ему централизатор $Z_G(a)$$Z_G(a)$  имеет порядок $p^{n}r$$p^{n}r$ , $r<s$ . Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская $p$$p$ -подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть $H$$H$  — произвольная $p$$p$ -подгруппа $G$$G$ . Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности $G/P$$G/P$  левыми сдвигами, где $P$$P$  — силовская $p$$p$ -подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на $p$$p$ . Но $|G/P|$$|G/P|$  не делится на $p$$p$ , значит, у действия есть неподвижная точка $gP$$gP$ . Получаем $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}h\in <!--\; \in \; -->Hhga=g{a}^{\prime },a,a^{\prime }\in <!--\; \in \; -->P$$\forall h \in H \quad hga = ga',\quad a,a' \in P$ , а значит, $h=g{a}^{\prime }{a}^{-<!--\; -\; -->1}{g}^{-<!--\; -\; -->1}\in <!--\; \in \; -->gP{g}^{-<!--\; -\; -->1}$$h = ga'a^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}$ , то есть $H$$H$  лежит целиком в некоторой силовской $p$$p$ -подгруппе.

Если при этом $H$$H$  — силовская $p$$p$ -подгруппа, то она сопряжена с $P$$P$ .

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:N_G(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg^-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в N_G(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем $N_p\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}p)$$N_p \equiv 1 \pmod p$ .

Нахождение силовской подгруппыПравить

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

ЛитератураПравить

• А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.
• Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.