Сферический сегмент

Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то высота обоих сегментов равна радиусу сферы, и каждый из таких сферических сегментов называют полусферой.

Пример сферического сегмента (окрашен синим цветом). Вторая половина сферы также представляет собой сферический сегмент

Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Поверхностью шарового сегмента является объединение сферического сегмента и круга (основания шарового сегмента), границы которых совпадают.

Объём и площадь поверхностиПравить

Если радиус основания сегмента равен $a$$a$ , высота сегмента равна $h$$h$ , тогда объём шарового сегмента равен

$V=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}h}{6}(3a^2+h^2),$$V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),$ 

площадь поверхности сегмента равна

$A=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}rh$$A=2\pi rh$ 

или

$A=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}).$$A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta ).$ 

Параметры $a$$a$ , $h$$h$  и $r$$r$  связаны соотношениями

$r^2=(r-<!--\; -\; -->h{)}^2+a^2=r^2+h^2-<!--\; -\; -->2rh+a^2,$$r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},$ 

$r=\frac{a^2+h^2}{2h}.$$r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.$ 

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

$A=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{(a^2+h^2)}{2h}h=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(a^2+h^2).$$A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).$ 

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) $h=r-<!--\; -\; -->\sqrt{r^2-<!--\; -\; -->a^2},$$h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2}}},$  в нижней части сферы $h=r+\sqrt{r^2-<!--\; -\; -->a^2},$$h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2}}},$  следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение $a=\sqrt{h(2r-<!--\; -\; -->h)}$$a={\sqrt {h(2r-h)}}$  и можно привести другое выражение для объёма:

$V=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{h}^2}{3}(3r-<!--\; -\; -->h).$$V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).$ 

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

$V={\int <!--\; \int \; -->}_x^r\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(r^2-<!--\; -\; -->x^2\right)dx=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\left(\frac{2}{3}{r}^3-<!--\; -\; -->r^{2}x+\frac{1}{3}{x}^3\right)=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}{r}^3(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+2)(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->1{)}^2.$$V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3}}r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\cos \theta +2)(\cos \theta -1)^{2}.$ 

ПрименениеПравить

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сферПравить

Объём объединения двух сфер радиусов r₁ и r₂ равен

$V=V^{(1)}-<!--\; -\; -->V^{(2)}$$V=V^{(1)}-V^{(2)}$ ,

где

$V^{(1)}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}{r}_1^3+\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}{r}_2^3$$V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}$ 

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

$V^{(2)}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{h}_1^2}{3}(3r_1-<!--\; -\; -->h_1)+\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{h}_2^2}{3}(3r_2-<!--\; -\; -->h_2)$$V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})$ 

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r₁ + r₂ — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h₁ и h₂ приводит к выражению

$V^{(2)}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{12d}(r_1+r_2-<!--\; -\; -->d{)}^2\left(d^2+2d(r_1+r_2)-<!--\; -\; -->3(r_1-<!--\; -\; -->r_2{)}^2\right).$$V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right).$ 

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широтПравить

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ₁ и φ₂ данная площадь равна

$A=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2|\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2|.$$A=2\pi r^{2}|\sin \varphi _{1}-\sin \varphi _{2}|.$ 

Площадь квадратного участка поверхности шараПравить

Участок, вырезанный на сфере радиуса r четырьмя дугами больших кругов, имеющими одинаковую угловую длину θ и попарно перпендикулярными (сферический квадрат, аналог квадрата на плоскости), имеет площадь

$A=8r^2(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}/2).$$A=8r^{2}(1-\cos \theta /2).$ 

Если угол θ мал (по сравнению с 1 радианом), то справедливо приближённое равенство, основывающееся на приближении $\cos <!--\; \; -->x\to <!--\; \to \; -->1-<!--\; -\; -->x^2/2$$\cos x\to 1-x^{2}/2$  при $x\to <!--\; \to \; -->0:$$x\to 0:$ 

$A\approx <!--\; \approx \; -->8r^2\frac{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2}{8}=r^2{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2.$$A\approx 8r^{2}{\frac {\theta ^{2}}{8}}=r^{2}\theta ^{2}.$ 

Например, площадь квадратного участка поверхности Земли (R_⊕ = 6378 км) со сторонами, равными 1 градусу, составляет

$A(1^{\circ <!--\; \circ \; -->})=8\cdot <!--\; \cdot \; -->R_{\oplus <!--\; \oplus \; -->}^2(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->0,5^{\circ <!--\; \circ \; -->})\approx <!--\; \approx \; -->R_{\oplus <!--\; \oplus \; -->}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{180}\right)}^2\approx <!--\; \approx \; -->12391{\text{км}}^2.$$A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^{2}(1-\cos 0{,}5^{\circ })\approx R_{\oplus }^{2}\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\right)^{2}\approx 12\,391\,{\text{км}}^{2}.$ 

1 квадратная секунда поверхности Земли имеет площадь в 3600² раз меньше: A(1′′) ≈ 12 391 км² / (60 · 60)² ≈ 956 м².

ОбобщенияПравить

Сечения других телПравить

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферыПравить

Объём $n$$n$ -мерного сегмента гиперсферы высотой $h$$h$  и радиуса $r$$r$  в $n$$n$ -мерном евклидовом пространстве определяется по формуле

$V=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\frac{n-<!--\; -\; -->1}{2}}{r}^n}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{n+1}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\arccos <!--\; \; -->\left(\frac{r-<!--\; -\; -->h}{r}\right)}{\int <!--\; \int \; -->}}{\sin }^n<!--\; \; -->t\mathrm{d}t,$$V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}t\,\mathrm {d} t,$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  (гамма-функция) задаётся выражением $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{t}^{z-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{e}}^{-<!--\; -\; -->t}\mathrm{d}t.$$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$ 

Выражение для объёма $V$$V$  можно переписать в терминах объёма единичного $n$$n$ -мерного шара $C_n={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{n/2}/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left[1+\frac{n}{2}\right]$$C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma \left[1+{\frac {n}{2}}\right]}$  и гипергеометрической функции ${}_2{F}_1$${}_{2}F_{1}$  или регуляризованной неполной бета-функции $I_x(a,b)$$I_{x}(a,b)$  как

$V=C_n{r}^n\left(\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->\frac{r-<!--\; -\; -->h}{r}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}[1+\frac{n}{2}]}{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}[\frac{n+1}{2}]}{}_2{F}_1\left(\frac{1}{2},\frac{1-<!--\; -\; -->n}{2};\frac{3}{2};{\left(\frac{r-<!--\; -\; -->h}{r}\right)}^2\right)\right)=\frac{1}{2}{C}_n{r}^n{I}_{(2rh-<!--\; -\; -->h^2)/r^2}\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right).$$V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).$ 

Формула для площади поверхности $A$$A$  может быть записана в терминах площади поверхности единичного $n$$n$ -мерного шара $A_n=2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{n/2}/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left[\frac{n}{2}\right]$$A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma \left[{\frac {n}{2}}\right]}$  как

$A=\frac{1}{2}{A}_n{r}^{n-<!--\; -\; -->1}{I}_{(2rh-<!--\; -\; -->h^2)/r^2}\left(\frac{n-<!--\; -\; -->1}{2},\frac{1}{2}\right),$$A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),$ 

где $0\le <!--\; \le \; -->h\le <!--\; \le \; -->r.$$0\leq h\leq r.$ 

Также справедливы следующие формулы: $A=A_n{p}_{n-<!--\; -\; -->2}(q),V=V_n{p}_n(q),$$A=A_{n}p_{n-2}(q),\quad V=V_{n}p_{n}(q),$  где $q=1-<!--\; -\; -->h/r(0\le <!--\; \le \; -->q\le <!--\; \le \; -->1),p_n(q)=\frac{1-<!--\; -\; -->G_n(q)/G_n(1)}{2},$$q=1-h/r(0\leq q\leq 1),\quad p_{n}(q)={\frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1)}{2}},$ 

$G_n(q)=\underset{0}{\overset{q}{\int <!--\; \int \; -->}}(1-<!--\; -\; -->t^2{)}^{(n-<!--\; -\; -->1)/2}dt.$$G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.$ 

При $n=2k+1:$$n=2k+1:$ 

$G_n(q)=\underset{i=0}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\frac{q^{2i+1}}{2i+1}.$$G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}.$ 

Было показано, что при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$  и $q\sqrt{n}=\text{const }$$q{\sqrt {n}}={\text{const }}$  $p_n(q)\to <!--\; \to \; -->1-<!--\; -\; -->F(q\sqrt{n}),$$p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}}),$  где $F()$$F()$  — стандартное нормальное распределение.

ЛитератураПравить

• А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, П. С. Александров. Основные понятия сферической геометрии // Энциклопедия элементарной математики. Книга 4 - Геометрия. — Москва: ГИФМЛ, 1963.