Параллельное перенесение

Параллельное перенесение — изоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}:E\to <!--\; \to \; -->B$$\eta :E\to B$, определяемый некоторой заданной связностью на $E$$E$. В частности, линейный изоморфизм касательных пространств $T_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(0)}(M)$$T_{\gamma (0)}(M)$ и $T_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(1)}(M)$$T_{\gamma (1)}(M)$, определяемый вдоль кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\in <!--\; \in \; -->M$$\gamma \in M$ некоторой заданной на $M$$M$ аффинной связностью.

Параллельное перенесение вектора по замкнутому контуру на сфере. Угол $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ пропорционален площади внутри контура.

Параллельное перенесение по аффинной связностиПравить

Пусть на гладком многообразии $M$$M$  задана аффинная связность. Говорят, что вектор $X_1\in <!--\; \in \; -->T_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(1)}(M)$$X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)$  получен параллельным перенесением из вектора $X_0\in <!--\; \in \; -->T_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(0)}(M)$$X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)$  вдоль не имеющей самопересечений гладкой кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}:[0,1]\to <!--\; \to \; -->M$$\gamma :[0,1]\to M$ , если в окрестности этой кривой существует гладкое векторное поле $X$$X$  со следующими свойствами:

• выполняются равенства $X(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(0))=X_0$$X(\gamma (0))=X_{0}$  и $X(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(1))=X_1$$X(\gamma (1))=X_{1}$ ;
• для любого значения $t\in <!--\; \in \; -->[0,1]$$t\in [0,1]$  выполняется равенство ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(t)}X=0$$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0$ , где символ $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  обозначает ковариантную производную, а $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(t)$${\dot {\gamma }}(t)$  есть вектор скорости $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ .

Замечание. Так как в локальных координатах справедливо равенство:

$({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}X{)}^i=\frac{d}{dt}{X}^i+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{jk}^i\cdot <!--\; \cdot \; -->X^j{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}^k$$(\nabla _{\dot {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\cdot X^{j}{\dot {\gamma }}^{k}$ ,

и в этом выражении нет частных производных от компонент вектора $X$$X$ , в определении параллельного перенесения не обязательно требовать, чтобы векторное поле $X$$X$  было определено в целой окрестности пути $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t)$$\gamma (t)$ , достаточно, чтобы оно существовало и было гладким вдоль одного только этого пути.

Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её не имеющих самопересечений гладких кусков.

На основе понятия параллельного переноса вектора определяются понятия параллельного переноса тензора произвольной валентности.

Свойства параллельного перенесения векторовПравить

• Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решение задачи Коши произвольного линейного ОДУ продолжается неограниченно вдоль любой гладкой кривой, поэтому задавая вектор в начальной точке и указывая путь параллельного перенесения, этот вектор однозначно переносится в любую точку этого пути.
• При перенесении векторов вдоль одного и того же пути сохраняются все линейные соотношения между ними.
• Перенесение векторов обратимо: достаточно конечные вектора перенести вдоль обратного пути, чтобы получились исходные вектора.
• Как следствие двух предыдущих свойств получается, что оператор параллельного переноса вдоль кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  представляет собой линейный изоморфизм пространств $T_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(0)}(M)$$T_{\gamma (0)}(M)$  и $T_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(1)}(M)$$T_{\gamma (1)}(M)$ .
• Если аффинная связность согласована с метрическим тензором на римановом многообразии (связность Леви-Чивиты), тогда оператор параллельного перенесения является ортогональным, то есть сохраняет скалярные произведения векторов, их длины и углы между ними.
• Важным свойством параллельного перенесения является также независимость результата перенесения от параметризации пути (эквивалентные пути дадут одинаковый результат). В то же время параллельное перенесение вдоль различных кривых обычно приводит к различным результатам.

Связанные определенияПравить

• Геодезическая — гладкий путь, у которого касательный вектор в каждой точке получается параллельным перенесением касательного вектора из любой другой точки.
• Группа голономии — группа ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_x$$\Phi _{x}$  автоморфизмов касательного пространства $T_{x}M$$T_{x}M$ , определяемая параллельными переносами вдоль замкнутых кусочно гладких кривых. При этом, для связного многообразия ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_x$$\Phi _{x}$  и ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_y$$\Phi _{y}$  всегда сопряжены между собой.

ИсторияПравить

Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Миндинг в 1837 указал возможность обобщить её на случай поверхности в ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$  с помощью введенного им понятия развертывания кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\in <!--\; \in \; -->S$$\gamma \in S$  на плоскость ${\mathbb{R}}^2$$\mathbb {R} ^{2}$ . Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивиты, который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай $n$$n$ -мерного риманова пространства (см. Связность Леви-Чивиты). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.

ЛитератураПравить

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0.