Самосогласованная функция

В математической оптимизации самосогласованной функцией называют трижды дифференцируемую выпуклую функцию $f:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, вторая и третья производные которой связаны неравенством:

$|f^{‴}(x)|⩽<!--\; ⩽\; -->2{\left(f^{″}(x)\right)}^{3/2}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\text{dom }f.$$|f'''(x)|\leqslant 2\left(f''(x)\right)^{3/2}\quad \forall x\in {\mbox{dom }}f.$

Многомерную функцию $f:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ называют самосогласованной, если одномерная функция $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)=f(x+ht)$$\phi (t)=f(x+ht)$ является самосогласованной для любых $x,h\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x,h\in \mathbb {R} ^{n}$.

СвойстваПравить

• Сумма самосогласованных функций является самосогласованной.
• Если $f(x)$$f(x)$  — самосогласованная функция, то самосогласованной является и функция $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}f(x)$$\alpha f(x)$  для любого действительного числа $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->1$$\alpha \geqslant 1$ .
• Композиция самосогласованной функции с аффинной является самосогласованной функцией.

ПриложенияПравить

Существуют точные оценки глобальной сходимости метода Ньютона для самосогласованных функций.

ЛитератураПравить

• Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization. § 9.6.
• Б. Т. Поляк. Метод Ньютона и его роль в оптимизации и вычислительной математике. Труды Института системного анализа Российской академии наук, 2006.