Рациональная функция

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение^[⇨], то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Пример рациональной функции от одной переменной: $f(x)=\frac{x^2-<!--\; -\; -->3x-<!--\; -\; -->2}{x^2-<!--\; -\; -->4}$$f(x)={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

Пример рациональной функции от двух переменных

Формальное определениеПравить

Рациональная функция, или дробно-рациональная функция, или рациональная дробь — это числовая функция вида

$\mathbb{U}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{U}:w=R(u),$$\mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),$ 

где $\mathbb{U}$$\mathbb {U}$  — комплексные ($\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ ) или вещественные ($\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ ) числа, $R(u)$$R(u)$  — рациональное выражение от $u$$u$ . Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень).

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов $P(u)$$P(u)$  и $Q(u)$$Q(u)$ :

$R(u)=\frac{P(u)}{Q(u)}=\frac{a_0+a_{1}u+a_2{u}^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{u}^n}{b_0+b_{1}u+b_2{u}^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+b_m{u}^m},$$R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+\cdots +a_{n}u^{n}}{b_{0}+b_{1}u+b_{2}u^{2}+\cdots +b_{m}u^{m}}},$ 

где $Q(u)\not\equiv 0.$$Q(u)\not \equiv 0.$  Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов $P(u)$$P(u)$  и $Q(u)$$Q(u)$ :

$a_0,a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$  и $b_0,b_1,b_2,\dots <!--\; \dots \; -->,b_m$$b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}$ .

Частные случаиПравить

• Целая рациональная функция — функция вида

$\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}:y=\frac{P(x)}{1},$$\mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1}},$ 

где переменная $x$$x$  действительна.

• Дробно-линейная функция — отношение двух линейных функций комплексного переменного:

$\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}:w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}.$$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.$ 

• Преобразование Кэли

$\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}:w=W(z)=\frac{z-<!--\; -\; -->i}{z+i}.$$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {z-i}{z+i}}.$ 

• Функция Жуковского — рациональная функция комплексного переменного

$\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}:w=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(z)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right),$$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right),$ 

имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским.

ОбобщенияПравить

• Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)

${\mathbb{U}}^{max(n,m)}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{U}:w=R(u_1,u_2,\dots <!--\; \dots \; -->,u_{max(n,m)})=\frac{P(u_1,u_2,\dots <!--\; \dots \; -->,u_n)}{Q(u_1,u_2,\dots <!--\; \dots \; -->,u_m)},$$\mathbb {U} ^{\max(n,m)}\to \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\dots ,u_{\max(n,m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})}},$ 

где $Q(u_1,u_2,\dots <!--\; \dots \; -->,u_m)\not\equiv 0$$Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})\not \equiv 0$ .

• Абстрактные рациональные функции

$R=\frac{A_1{F}_1+A_2{F}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+A_n{F}_n}{B_1{F}_1+B_2{F}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+B_m{F}_m},$$R={\frac {A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+\cdots +A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1}+B_{2}F_{2}+\cdots +B_{m}F_{m}}},$ 

где $F_1,F_2,\dots <!--\; \dots \; -->,F_{max(n,m)}$$F_{1},F_{2},\dots ,F_{\max(n,m)}$  — линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, $A_1,A_2,\dots <!--\; \dots \; -->,A_n,$$A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},$  и $B_1,B_2,\dots <!--\; \dots \; -->,B_m$$B_{1},B_{2},\dots ,B_{m}$  — числовые коэффициенты.

Вещественная рациональная функцияПравить

Несократимая рациональная дробьПравить

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем.

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике.

Доказательство

Сначала докажем, что если произведение многочленов $f(x)$$f(x)$  и $g(x)$$g(x)$  делится на $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$ , причём $f(x)$$f(x)$  и $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  взаимно просты, то $g(x)$$g(x)$  делится на $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$ .

1. Известно, что многочлены $f(x)$$f(x)$  и $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены $u(x)$$u(x)$  и $v(x)$$v(x)$ , что

$f(x)u(x)+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)v(x)=1.$$f(x)u(x)+\varphi (x)v(x)=1.$ 

2. Умножим это равенство на $g(x)$$g(x)$ :

$[f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)v(x)]=g(x).$$[f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).$ 

3. Оба слагаемых этого равенства делятся на $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$ , следовательно, $g(x)$$g(x)$  также делится на $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$ .

Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя.

1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.

2. Далее, если две несократимые дроби равны:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)},$${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},$ 

то есть

$f(x)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=g(x)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x).$$f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).$ 

то:

• из взаимной простоты $f(x)$$f(x)$  и $g(x)$$g(x)$  следует, что $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  делится на $f(x)$$f(x)$ ;
• из взаимной простоты $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  и $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\psi(x)$  следует, что $f(x)$$f(x)$  делится на $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$ .

В итоге получаем, что $f(x)=c\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x).$$f(x)=c\varphi (x).$ 

3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:

$c\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=g(x)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x),$$c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),$ 

или

$g(x)=c\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x).$$g(x)=c\psi (x).$ 

Итак, получили, что

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{c\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)}{c\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}.$${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x)}}.$ 

Правильная рациональная дробьПравить

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби.

Доказательство

Докажем последнее утверждение.

1. Для любой рациональной дроби $\frac{f(x)}{g(x)}$${\frac {f(x)}{g(x)}}$ , поделив числитель на знаменатель, получим:

$f(x)=g(x)q(x)+r(x),$$f(x)=g(x)q(x)+r(x),$ 

причём степень $r(x)$$r(x)$  меньше степени $g(x).$$g(x).$  Поделим обе части равенства на $g(x)$$g(x)$ , получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:

$\frac{f(x)}{g(x)}=q(x)+\frac{r(x)}{g(x)}.$${\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}.$ 

2. Докажем единственность этого представления.Если имеет место также следующее равенство:

$\frac{f(x)}{g(x)}=q^{\prime }(x)+\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)},$${\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x)+{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},$ 

где также степень $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  меньше степени $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)(x)$$\psi (x)(x)$ , то произведём вычитание:

$q(x)-<!--\; -\; -->q^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}-<!--\; -\; -->\frac{r(x)}{g(x)}=\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)g(x)-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)r(x)}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)g(x)}.$$q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x)}}.$ 

3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  меньше степени $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\psi(x)$ , а степень $r(x)$$r(x)$  меньше степени $g(x)$$g(x)$ , то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда $q(x)-<!--\; -\; -->q^{\prime }(x)=0$$q(x)-q'(x)=0$  и

$\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}-<!--\; -\; -->\frac{r(x)}{g(x)}=0.$${\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}=0.$ 

Простейшая рациональная дробьПравить

Правильная рациональная дробь $\frac{f(x)}{g(x)}$${\frac {f(x)}{g(x)}}$  простейшая, если её знаменатель $g(x)$$g(x)$  представляет собой степень неприводимого многочлена $p(x)$$p(x)$ :

$g(x)=p^k(x),k⩾<!--\; ⩾\; -->1,$$g(x)=p^{k}(x),k\geqslant 1,$ 

а степень числителя $f(x)$$f(x)$  меньше степени $p(x)$$p(x)$ . Имеют место быть две теоремы.

• Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
• Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробейПравить

Основная статья: Разложение рациональной дроби на простейшие

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

• при интегрировании;
• при разложении в ряд Тейлора;
• при разложении в ряд Лорана;
• при расчёте обратного преобразования Лапласа рациональной дроби.

Пример

Пример. Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь $\frac{f(x)}{g(x)},$${\frac {f(x)}{g(x)}},$  где:

$f(x)=2x^4-<!--\; -\; -->10x^3+7x^2+4x+3,$$f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3,$ 

$g(x)=x^5-<!--\; -\; -->2x^3+2x^2-<!--\; -\; -->3x+2.$$g(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x+2.$ 

Решение. 1. Легко проверить, что

$g(x)=(x+2)(x-<!--\; -\; -->1{)}^2(x^2+1),$$g(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}+1),$ 

причём $x+2,$$x+2,$  $x-<!--\; -\; -->1,$$x-1,$  $x^2+1$$x^{2}+1$  неприводимы.

2. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x-<!--\; -\; -->1{)}^2}+\frac{C}{x-<!--\; -\; -->1}+\frac{Dx+E}{x^2+1}.$${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{x-1}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}.$ 

Осталось найти числа $A$$A$ , $B,$$B,$  $C,$$C,$  $D$$D$  и $E.$$E.$ 

3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:

$f(x)=2x^4-<!--\; -\; -->10x^3+7x^2+4x+3=$$f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3=$ 

$=A(x-<!--\; -\; -->1{)}^2(x^2+1)+$$=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)+$ 

$+B(x+2)(x^2+1)+$$+B(x+2)(x^{2}+1)+$ 

$+C(x+2)(x-<!--\; -\; -->1)(x^2+1)+$$+C(x+2)(x-1)(x^{2}+1)+$ 

$+Dx(x+2)(x-<!--\; -\; -->1{)}^2+$$+Dx(x+2)(x-1)^{2}+$ 

$+E(x+2)(x-<!--\; -\; -->1{)}^2.$$+E(x+2)(x-1)^{2}.$ 

Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными $A$$A$ , $B,$$B,$  $C,$$C,$  $D$$D$  и $E,$$E,$  приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $x$$x$  из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.

4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве $x=-<!--\; -\; -->2,$$x=-2,$  получаем $45A=135,$$45A=135,$  откуда $A=3.$$A=3.$  Полагая $x=1,$$x=1,$  получаем $6B=6,$$6B=6,$  то есть $B=1.$$B=1.$  Полагая независимо $x=0$$x = 0$  и $x=-<!--\; -\; -->1,$$x=-1,$  получаем систему

$\{\begin{array}{r}-<!--\; -\; -->2C+2E=-<!--\; -\; -->2,\\ -<!--\; -\; -->4C-<!--\; -\; -->4D+4E=-<!--\; -\; -->8.\end{array}$$\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\-4C-4D+4E=-8.\\\end{array}}\right.$ 

Отсюда $D=1.$$D=1.$  Положим $x=2,$$x=2,$  получаем $20C+4E=-<!--\; -\; -->52.$$20C+4E=-52.$  Возникает система

$\{\begin{array}{r}-<!--\; -\; -->2C+2E=-<!--\; -\; -->2,\\ 20C+4E=-<!--\; -\; -->52,\end{array}$$\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\20C+4E=-52,\\\end{array}}\right.$ 

откуда $C=-<!--\; -\; -->2,$$C=-2,$  $E=-<!--\; -\; -->3.$$E=-3.$  Таким образом,

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{3}{x+2}+\frac{1}{(x-<!--\; -\; -->1{)}^2}-<!--\; -\; -->\frac{2}{x-<!--\; -\; -->1}+\frac{x-<!--\; -\; -->3}{x^2+1}.$${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{x-1}}+{\frac {x-3}{x^{2}+1}}.$ 

СвойстваПравить

• Любое выражение, которое можно получить из переменных $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_1,\dots,x_n$  с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
• Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дробиПравить

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения $(x-<!--\; -\; -->a{)}^k$$(x-a)^{k}$  ($a$$a$  — вещественный корень $Q(x)$$Q(x)$ ) либо $(x^2+px+q{)}^k$$(x^{2}+px+q)^{k}$  (где $x^2+px+q$$x^{2}+px+q$  не имеет действительных корней), причём степени $k$$k$  не больше кратности соответствующих корней в многочлене $Q(x)$$Q(x)$ . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. такжеПравить

• Целая рациональная функция
• Рациональное число
• Рациональное уравнение
• Наипростейшая дробь
• Египетские дроби
• Список интегралов от рациональных функций

ЛитератураПравить

• Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 255 с., 77 ил., библ. 15 названий.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник для вузов. 22-е изд., стер. СПб.: Лань, 2021. 431 с.: ил. ISBN 978-5-8114-6851-5.
• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.
• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. 10-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2019. xii+564 с., ил. 65, библ. 54 назв. 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).