Метрика Хаусдорфа

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Феликса Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

ОпределениеПравить

Пусть $X$$X$  и $Y$$Y$  суть два непустых компактных подмножества метрического пространства $M$$M$ . Тогда расстояние по Хаусдорфу, $d_H(X,Y)$$d_{H}(X,\;Y)$ , между $X$$X$  и $Y$$Y$  есть минимальное число $r$$r$  такое, что замкнутая $r$$r$ -окрестность $X$$X$  содержит $Y$$Y$  и также замкнутая $r$$r$ -окрестность $Y$$Y$  содержит $X$$X$ .

ЗамечанияПравить

• Другими словами, если $|xy|$$|xy|$  обозначает расстояние между точками $x$$x$  и $y$$y$  в $M$$M$  то

  $d_H(X,Y)=max\left\{\underset{x\in <!--\; \in \; -->X}{sup}\underset{y\in <!--\; \in \; -->Y}{inf}|xy|,\underset{y\in <!--\; \in \; -->Y}{sup}\underset{x\in <!--\; \in \; -->X}{inf}|xy|\right\}.$$d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup _{{x\in X}}\inf _{{y\in Y}}|xy|,\;\sup _{{y\in Y}}\inf _{{x\in X}}|xy|\right\}.$ 

• Эквивалентное определение:

  $d_H(X,Y)=\underset{m\in <!--\; \in \; -->M}{sup}\left\{|{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}}_X(m)-<!--\; -\; -->{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}}_Y(m)|\right\},$$d_{H}(X,\;Y)=\sup _{m\in M}\left\{\,|\mathrm {dist} _{X}(m)-\mathrm {dist} _{Y}(m)|\,\right\},$ 

где ${\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}}_X:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\mathrm {dist} _{X}\colon M\to \mathbb {R}$  обозначает функцию расстояния до множества $X$$X$ .

СвойстваПравить

Пусть $F(M)$$F(M)$  обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства $M$$M$  с метрикой Хаусдорфа:

• Топология пространства $F(M)$$F(M)$  полностью определяется топологией $M$$M$ .
• (Теорема выбора Бляшке) $F(M)$$F(M)$  компактно тогда и только тогда, когда компактно $M$$M$ .
• $F(M)$$F(M)$  полно тогда и только тогда, когда $M$$M$  полное.

Вариации и обобщенияПравить

• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
• В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть $X$$X$  и $Y$$Y$  два компактных подмножества евклидова пространства, тогда $D_H(X,Y)$$D_{H}(X,\;Y)$  определяется как минимум $d_H(I(X),Y)$$d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr )}$  по всем движениям евклидова пространства $I$$I$ . Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
• Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

ЛитератураПравить

• Бляшке. Круг и шар. — М.: Наука, 1967.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
• Хаусдорф «Теория множеств»