Расстояние Минковского

Расстояние Минковского (метрика Минковского) — параметрическая метрика на евклидовом пространстве, которую можно рассматривать как обобщение евклидова расстояния и расстояния городских кварталов. Названа в честь немецкого математика Германа Минковского, впервые систематически изучившего данное семейство функций расстояния.

Расстояние Минковского порядка $p$$p$ между двумя точками $x,y\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ определяется как

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x,y)={\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_i-<!--\; -\; -->y_i{|}^p\right)}^{1/p}$$\rho (x,y)=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{1/p}$.

Для $p⩾<!--\; ⩾\; -->1$$p\geqslant 1$ расстояние Минковского является метрикой вследствие неравенства Минковского.

Для $p<1$ расстояние не является метрикой, поскольку нарушается неравенство треугольника.

При $p=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$p=\infty$ метрика обращается в расстояние Чебышёва.

В приложениях чаще всего используют функцию расстояния с параметром $p$$p$, равным 1 (расстояние городских кварталов) или 2 (евклидова метрика).

Единичная окружность при различных значениях параметра $p$$p$ расстояния Минковского

Схожая параметрическая конструкция в функциональном анализе — норма на пространствах $L^p$$L^{p}$, которая вводится подобным образом.

ЛитератураПравить

• Deza, M. M., Deza, E. Encyclopedia of Distances (англ.). — Fourth Edition. — Springer, 2016. — ISBN 978-3-662-52843-3. — doi:10.1007/978-3-662-52844-0.