Расслоение на окружности

Расслоение на окружности — это расслоение, в котором слоями являются окружности ${\mathbf{S}}^1$$\scriptstyle \mathbf {S} ^{1}$.

Ориентированные расслоения на окружности известны также как главные U(1)-расслоения. В физике расслоения на окружности являются естественными геометрическими установками для электромагнетизма. Расслоение на окружности является частным случаем расслоений на сферы^[en].

Как 3-многообразияПравить

Расслоение на окружности поверхностей является важным примером 3-многообразий^[en]. Более общим классом 3-многообразий являются расслоения Зейферта, которые можно рассматривать как вид «вырожденных» расслоений на окружности или как расслоение на окружности двумерных орбиобразий.

Отношение к электродинамикеПравить

Уравнения Максвелла соответствует электромагнитному полю, представленному 2-формой F с ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}F$$\pi ^{\!*}F$  гомологически эквивалентным^[en] нулю. В частности, всегда существует ковариантный вектор A, электромагнитный потенциал, (эквивалентно, аффинная связность), такой, что

${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}F=dA.$$\pi ^{\!*}F=dA.$ 

Если дано расслоение на окружности P многообразия M и его проекция

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:P\to <!--\; \to \; -->M$$\pi :P\to M$ ,

имеем гомоморфизм

${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}:H^2(M,\mathbb{Z})\to <!--\; \to \; -->H^2(P,\mathbb{Z})$$\pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )$ ,

где ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\pi ^{\!*}$  является обратным образом. Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака. Целые группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда. Эффект Ааронова — Бома можно понимать как голономию связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающую волновую функцию электрона. В сущности, эффект Ааронова — Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки популярному представлению), так как здесь не вовлекается и не требуется никакого квантования при построении расслоения.

ПримерыПравить

• Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение поверхности является другим примером расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение неориентируемой поверхности является расслоением на окружности, которое не является главным расслоением $U(1)$$U(1)$ . Только ориентируемые поверхности имеют главные сферические касательные расслоения.
• Другим методом для построения расслоения на окружности является использование комплексного линейного расслоения $L\to <!--\; \to \; -->X$$L\to X$  и взятие ассоциированного расслоения на сферы (в данном случае — на окружности). Поскольку это расслоение имеет индуцированную ориентацию из $L$$L$ , получаем, что оно является главным расслоением $U(1)$$U(1)$ . Более того, характеристические классы из теории Чженя — Вейля расслоений $U(1)$$U(1)$  согласуются с характеристическими классами $L$$L$ .
• Например, рассмотрим аналитификацию $X$$X$  комплексной плоской кривой

$\text{Proj}\left(\frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{x^n+y^n+z^n}\right)$${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)$ 

Поскольку $H^2(X)=\mathbb{Z}=H^2({\mathbb{C}\mathbb{P}}^2)$$H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})$  и характеристические классы отображаются обратно нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком ${\mathcal{O}}_X(a)={\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(a)\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathcal{O}}_X$${\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}$ , имеет класс Чженя $c_1=a\in <!--\; \in \; -->H^2(X)$$c_{1}=a\in H^{2}(X)$ .

КлассификацияПравить

Классы изоморфности^[en] главных расслоений $U(1)$$U(1)$  многообразия M находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами^[en] отображений $M\to <!--\; \to \; -->BU(1)$$M\to BU(1)$ , где $BU(1)$$BU(1)$  называется классифицирующим пространством для U(1)^[en]. Заметим, что $BU(1)=C{P}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$BU(1)=CP^{\infty }$  является бесконечномерным комплексным проективным пространством^[en], и что оно является примером пространства Эйленберга-Маклейна^[en] $K(\mathbb{Z},2)$$K(\mathbb {Z} ,2)$ . Такие расслоения классифицируются элементами второй целочисленной группы когомологий $H^2(M,\mathbb{Z})$$H^{2}(M,\mathbb {Z} )$  многообразия M, поскольку

$[M,BU(1)]\equiv <!--\; \equiv \; -->[M,\mathbb{C}{P}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}]\equiv <!--\; \equiv \; -->H^2(M)$$[M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)$ .

Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера^[en]. Эквивалентно, он является первым классом Чженя гладкого комплексного линейного расслоения^[en] (в основном потому, что окружность гомотопически эквивалентна ${\mathbb{C}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\mathbb {C} ^{*}$ , комплексной плоскости с удалённым началом координат. А тогда комплексное линейное расслоение с удалённой нулевой секцией гомотопически эквивалентно расслоению на окружности)

Расслоение на окружности является главным расслоением $U(1)$$U(1)$  тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение $M\to <!--\; \to \; -->B{\mathbb{Z}}_2$$M\to B\mathbb {Z} _{2}$  гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение является послойно ориентированными. Для более общего случая, когда расслоение на окружности многообразия M не может быть ориентированным, классы изоморфизмов находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений $M\to <!--\; \to \; -->B{O}_2$$M\to BO_{2}$ . Это следует из расширения групп $S{O}_2\to <!--\; \to \; -->O_2\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{Z}}_2$$SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}$ , где $S{O}_2\equiv <!--\; \equiv \; -->U(1)$$SO_{2}\equiv U(1)$ .

Комплексы ДелиняПравить

Основная статья: Когомология Делиня

Вышеприведённая классификация применима только к расслоениям на окружности в общем случае. Соответствующая классификация для гладких расслоений на окружности, или, скажем, расслоение на окружности с аффинной связностью требует более сложную теорию когомологий. Так, гладкие расслоения на окружности классифицируются второй когомологией Делиня $H_D^2(M,\mathbb{Z})$$H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )$ , расслоения на окружности с аффинной связностью классифицируются посредством $H_D^2(M,\mathbb{Z}(2))$$H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))$ , в то время как $H_D^3(M,\mathbb{Z})$$H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )$  классифицирует линейные расслоения на снопы^[en].

См. такжеПравить

• Спектральная последовательность