Дистрибутивность

Дистрибути́вность (от лат. distributivus «распределительный»), также распределительный закон^[1] — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что бинарная операция «×» является дистрибутивной относительно бинарной операции «+»^[2], если они удовлетворяют следующим двум тождествам:

\text{[math]}

(\forall x,y,z)\,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)

(\forall x,y,z)\,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)

— дистрибутивность слева;

\text{[math]}

(\forall x,y,z)\,(y+z)\times x=(y\times x)+(z\times x)

(\forall x,y,z)\,(y+z)\times x=(y\times x)+(z\times x)

— дистрибутивность справа.

Если операция «×» является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа равносильны.

Относительно соответствующих аддитивных операций, мультипликативные операции в кольцах и полях, по определению, удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности^{[уточнить]}, то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).

СледствияПравить

Из дистрибутивного закона следует правило раскрытия скобок, перед которыми стоит минус. В этом случае знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

\text{[math]}

-(x+y)=-1(x+y)=-1x+(-1)y=-x+(-y)=-x-y

Аналогично,

\text{[math]}

-(x-y)=-x+y;

\text{[math]}

-(x+y+z)=-x-y-z;

\text{[math]}

-(x+y-z)=-x-y+z;

\text{[math]}

-(x-y+z)=-x+y-z;

\text{[math]}

-(x-y-z)=-x+y+z

Например,

\text{[math]}

-(2-6+17)=-2+6-17=-13

ПримечанияПравить

↑ Так это свойство называется в учебниках для младших классов
↑ Симметричное свойство дистрибутивности второй операции относительно первой в общем случае необязательно имеет место, но иногда это так, как, например, в известном классе дистрибутивных решёток, включающем в себя в том числе булевы алгебры.

См. такжеПравить

[1] Так это свойство называется в учебниках для младших классов

[2] Симметричное свойство дистрибутивности второй операции относительно первой в общем случае необязательно имеет место, но иногда это так, как, например, в известном классе дистрибутивных решёток, включающем в себя в том числе булевы алгебры.

[1]

[2]