Распределение Трейси — Видома

Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение, введённое Крэйгом Трейси^[d] и Гарольдом Видомом для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицы.

Вид функций плотности вероятности распределений Трейси — Видома F₁, F₂ и F₄

В прикладном отношении, распределение Трейси — Видома — это функция перехода между двумя фазами системы: со слабосвязанными и с сильносвязанными компонентами. Оно также возникает как распределение длины наибольшей увеличивающейся подпоследовательности случайных перестановок, во флуктуациях потока асимметричного процесса с простыми исключениями (ASEP)^[d] с шаговым начальным условием и в упрощённых математических моделях поведения в задаче о наибольшей общей подпоследовательности случайных вводов.

Распределение F₁ особенно интересно с точки зрения многомерной статистики^[d] .

ОпределениеПравить

Распределение Трейси — Видома определяется как предел

$F_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(s)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\left(({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-<!--\; -\; -->\sqrt{2n})(\sqrt{2})n^{1/6}\le <!--\; \le \; -->s\right)\text{,}$$F_{\beta }(s)=\lim \limits _{{n\rightarrow \infty }}{{\rm {Prob}}}\left((\lambda _{{{\rm {max}}}}-{\sqrt {2n}})({\sqrt {2}})n^{{1/6}}\leq s\right){\mbox{,}}$ 

где ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$$\lambda _{{{\rm {max}}}}$  — наибольшее собственное число случайной матрицы $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$  стандартного (для компонентов матрицы $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=1/\sqrt{2}$$\sigma =1/{\sqrt 2}$ ) гауссова ансамбля: при β=1 — ортогонального, при β=2 — унитарного, при β=4 — симплектического. Сдвиг $\sqrt{2n}$${\sqrt {2n}}$  используется, чтобы центрировать распределение в точке 0. Множитель $(\sqrt{2})n^{1/6}$$({\sqrt {2}})n^{{1/6}}$  используется, поскольку стандартное отклонение распределения масштабируется как $n^{-<!--\; -\; -->1/6}$$n^{{-1/6}}$ .

Эквивалентные представленияПравить

Кумулятивная функция распределения Трейси — Видома для унитарных ансамблей ($\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=2$$\beta =2$ ) может быть представлена как фредгольмов определитель^[d]

$F_2(s)=det(I-<!--\; -\; -->A_s)$$F_{2}(s)=\det(I-A_{s})$ 

оператора $A_s$$A_s$  на интегрируемой с квадратом функции на луче $(s,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(s,\infty )$  ядром в понятиях функций Эйри $\mathrm{A}\mathrm{i}$${\mathrm {Ai}}$  через

$\frac{\mathrm{A}\mathrm{i}(x){\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(y)-<!--\; -\; -->{\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(x)\mathrm{A}\mathrm{i}(y)}{x-<!--\; -\; -->y}.$${\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{x-y}}.$ 

Также её можно представить интегралом

$F_2(s)=\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_s^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(x-<!--\; -\; -->s)q^2(x)dx\right)$$F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)\,dx\right)$ 

через решение уравнения Пенлеве^[d] II

$q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(s)=sq(s)+2q(s{)}^3\text{,}$$q^{{\prime \prime }}(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}$ 

где $q$$q$ , называемое решением Гастингса—Мак-Леода, удовлетворяет граничным условиям:

$q(s)\sim <!--\; \sim \; -->\text{Ai}(s),s\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.$$\displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .$ 

Другие распределения Трейси — ВидомаПравить

Распределения Трейси — Видома $F_1$$F_{1}$  и $F_4$$F_{4}$  для ортогональных ($\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1$$\beta =1$ ) и симплектических ($\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=4$$\beta =4$ ) ансамблей также выразимы через трансцендент Пенлеве^[d] $q$$q$ :

$F_1(s)=\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{\int <!--\; \int \; -->}_s^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}q(x)dx\right){\left(F_2(s)\right)}^{1/2}$$F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{{1/2}}$ 

и

$F_4(s/\sqrt{2})=\mathrm{c}\mathrm{h}\left(\frac{1}{2}{\int <!--\; \int \; -->}_s^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}q(x)dx\right){\left(F_2(s)\right)}^{1/2}.$$F_{4}(s/{\sqrt {2}})={\mathrm {ch}}\left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{{1/2}}.$ 

Существует расширение этого определения на случаи $F_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$F_{\beta }$  при всех $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}>0$$\beta >0$ .

Численные приближенияПравить

Численные методы получения приближённых решений уравнений Пенлеве II и Пенлеве V и численно определённые распределения собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены в 2005 году (использовался MATLAB). Эти приближённые методы позднее были аналитически уточнены и используются для получения численного анализа Пенлеве II и рапределений Трейси — Видома (для $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1,2,4$$\beta =1,2,4$ ) в S-PLUS. Эти распределения были табулированы до четырёх значащих цифр по значениям аргумента с шагом 0.01; в работе также присутствовала статистическая таблица p-значений. В 2009 году даны точные и быстрые алгоритмы численного определения $F_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$F_{\beta }$  и функций плотности $f_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(s)=\frac{d{F}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}{ds}$$\textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}$  для $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1,2,4$$\beta =1,2,4$ . По этим алгоритмам можно численно подсчитать среднее значение, дисперсию, асимметрию и эксцесс распределений $F_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$F_{\beta }$ .

β	Среднее	Дисперсия	Коэффициент асимметрии	Эксцесс
1	−1.2065335745820	1.607781034581	0.29346452408	0.1652429384
2	−1.771086807411	0.8131947928329	0.224084203610	0.0934480876
4	−2.306884893241	0.5177237207726	0.16550949435	0.0491951565

Функции для работы с законами Трейси — Видома также представлены в пакете для R RMTstat и в пакете для MATLAB RMLab.

Вычислено также простое приближение на основе смещённых гамма-распределений.

ЛитератураПравить

• Доценко В. С. Универсальная случайность // УФН. — 2011. — Т. 181, № 3. — doi:10.3367/UFNr.0181.201103b.0269.
• Baik, J.; Deift, P. & Johansson, K. (1999), On the distribution of the length of the longest increasing subsequence of random permutations, Journal of the American Mathematical Society Т. 12 (4): 1119–1178, DOI 10.1090/S0894-0347-99-00307-0 .
• Deift, P. (2007), Universality for mathematical and physical systems, International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006), European Mathematical Society, с. 125–152 .
• Johansson, K. (2000), Shape fluctuations and random matrices, Communications in Mathematical Physics Т. 209 (2): 437–476, DOI 10.1007/s002200050027 .
• Johansson, K. (2002), Toeplitz determinants, random growth and determinantal processes, Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002), vol. 3, Beijing: Higher Ed. Press, с. 53–62 .
• Johnstone, I. M. (2007), High dimensional statistical inference and random matrices, International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006), European Mathematical Society, с. 307–333 .
• Johnstone, I. M. (2008), Multivariate analysis and Jacobi ensembles: largest eigenvalue, Tracy–Widom limits and rates of convergence, Annals of Statistics Т. 36 (6): 2638–2716, PMID 20157626, DOI 10.1214/08-AOS605 .
• Johnstone, I. M. (2009), Approximate null distribution of the largest root in multivariate analysis, Annals of Applied Statistics Т. 3 (4): 1616–1633, PMID 20526465, DOI 10.1214/08-AOAS220 .
• Majumdar, Satya N. & Nechaev, Sergei (2005), Exact asymptotic results for the Bernoulli matching model of sequence alignment, Physical Review E Т. 72 (2): 020901, 4, DOI 10.1103/PhysRevE.72.020901 .
• Patterson, N.; Price, A. L. & Reich, D. (2006), Population structure and eigenanalysis, PLoS Genetics Т. 2 (12): e190, PMID 17194218, DOI 10.1371/journal.pgen.0020190 .
• Prähofer, M. & Spohn, H. (2000), Universal distributions for growing processes in 1+1 dimensions and random matrices, Physical Review Letters Т. 84 (21): 4882–4885, PMID 10990822, DOI 10.1103/PhysRevLett.84.4882 .
• Takeuchi, K. A. & Sano, M. (2010), Universal fluctuations of growing interfaces: Evidence in turbulent liquid crystals, Physical Review Letters Т. 104 (23): 230601, PMID 20867221, DOI 10.1103/PhysRevLett.104.230601 
• Takeuchi, K. A.; Sano, M.; Sasamoto, T. & Spohn, H. (2011), Growing interfaces uncover universal fluctuations behind scale invariance, Scientific Reports Т. 1: 34, DOI 10.1038/srep00034 
• Tracy, C. A. & Widom, H. (1993), Level-spacing distributions and the Airy kernel, Physics Letters B Т. 305 (1—2): 115–118, DOI 10.1016/0370-2693(93)91114-3 .
• Tracy, C. A. & Widom, H. (1994), Level-spacing distributions and the Airy kernel, Communications in Mathematical Physics Т. 159 (1): 151–174, DOI 10.1007/BF02100489 .
• Tracy, C. A. & Widom, H. (2002), Distribution functions for largest eigenvalues and their applications, Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002), vol. 1, Beijing: Higher Ed. Press, с. 587–596 .
• Tracy, C. A. & Widom, H. (2009), Asymptotics in ASEP with step initial condition, Communications in Mathematical Physics Т. 290 (1): 129–154, DOI 10.1007/s00220-009-0761-0 .
• Bejan, Andrei Iu. (2005), Largest eigenvalues and sample covariance matrices. Tracy–Widom and Painleve II: Computational aspects and realization in S-Plus with applications, M.Sc. dissertation, Department of Statistics, The University of Warwick, <http://www.cl.cam.ac.uk/~aib29/TWinSplus.pdf> .
• Bornemann, F. (2010), On the numerical evaluation of distributions in random matrix theory: A review with an invitation to experimental mathematics, Markov Processes and Related Fields Т. 16 (4): 803–866 .
• Chiani, M. (2012), Distribution of the largest eigenvalue for real Wishart and Gaussian random matrices and a simple approximation for the Tracy–Widom distribution .
• Edelman, A. & Persson, P.-O. (2005), Numerical Methods for Eigenvalue Distributions of Random Matrices .
• Ramírez, J. A.; Rider, B. & Virág, B. (2006), Beta ensembles, stochastic Airy spectrum, and a diffusion .

СсылкиПравить

• Kuijlaars, Universality of distribution functions in random matrix theory, <http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Kuijlaars.pdf> .
• Tracy, C. A. & Widom, H., The distributions of random matrix theory and their applications, <http://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/SITE7.pdf> .
• Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick & Shahram, Morteza (2009), Package 'RMTstat', <http://cran.r-project.org/web/packages/RMTstat/RMTstat.pdf> .
• Quanta Magazine: At the Far Ends of a New Universal Law