Рамочный магический квадрат

Рамочный магический квадрат — это такой магический квадрат, что если в нём отбросить окаймляющие «полосы» шириной в одну или несколько клеток, то оставшийся квадрат не утратит своего магического свойства. Такие квадраты ещё называют ассоциативными или симметричными. Рамочных магических квадратов 4-го порядка нет (так как не существует магических квадратов второго порядка)

Методы построения рамочных магических квадратовПравить

Квадраты нечётного порядкаПравить

Метод ал-КараджиПравить

Один из простейших методов, касающихся заполнения квадратов порядка n=2k+1, принадлежит ал-Караджи (Х в.).

Рассмотрим метод в общем случае.

Построение рамки начинается слева от правого верхнего угла, в который записывают число 1. Число 2 помещают в клетку, расположенную под правой верхней;

3 — слева от 1; 4 — под 2 и т. д. до числа 2(k-1). Число 2k-1 записывают под предыдущим; 2k — в левом верхнем углу;

2k+1 — в середине нижней части рамки; число 2(k+1) помещают в левый нижний угол, а следующий — справа от него. Число 3k располагают над 2(k+1).

Дальнейшее заполнение осуществляется аналогично размещению чисел в правом верхнем углу. Последним записывают число ((2k+1)∙4-4)/2=4k . При заполнении оставшихся клеток рамки из (2k+1)2+1 вычитают числа, стоящие в соответствующих клетках углах рамки.

Следующая рамка (2k-3)×(2k-3) строится аналогичным образом, начиная с числа 4k+1 и т. д. Наконец, внутри рамки составляется магический квадрат порядка 3.

Квадрат, иллюстрирующий данный метод, представлен ниже:

4	19	21	1	20
24	16	9	14	2
23	11	13	15	3
8	12	17	10	18
6	7	5	25	22

Метод «Чистых братьев и Верных друзей»Править

Следующий метод принадлежит «Чистым братьям и Верным друзьям». Поскольку в рукописи описания метода не было, то ниже представлена его реконструированная версия, рассмотренная в общем случае и показанная на примере магического квадрата порядка 7 (n=7, k=3).

Независимо от порядка заполнение начинают с наименьшего квадрата. Первое число помещают во вторую сверху ячейку, крайнего правого столбца, в котором заполняется n−2 ячейки, до предпоследней;

Следующее число помещают в последнюю ячейку первой строки, считая справа налево, и заполняют строку полностью, до предпоследней ячейки;

Оставшиеся рамки заполняют аналогично, рисунок ниже;

16	17	18	19	20	21
	7	8	9	10		11
		2	3		4	12
				1	5	13
					6	14
						15

Далее переходят к заполнению «пустой» главной диагонали, записывая числа в их естественном порядке .

16	17	18	19	20	21	28
	7	8	9	10	27	11
		2	3	26	4	12
			25	1	5	13
		24			6	14
	23					15
22

Пустые ячейки рамки заполняют, дополняя их в сумме с противоположными до числа (n²+1)/2;

Следующим шагом k−1 число в правом столбце, через одну ячейку, считая от предпоследней снизу, меняют местами с соответствующими числами левого столбца; и k чисел в верхней строке, через одно, считая от первой ячейки, с соответствующими числами нижней строки.

В результате получаем рамочный магический квадрат, представленный ниже:

16	33	18	31	20	29	28
39	7	42	9	40	27	11
12	46	2	47	26	4	38
37	5	49	25	1	45	13
14	44	24	3	48	6	36
35	23	8	41	10	43	15
22	17	32	19	30	21	34

Квадраты нечётно-чётного порядкаПравить

Метод Секи КовыПравить

Алгоритм построения квадрата порядка 2(2k+1)×2(2k+1) рассмотрим в общем виде:

В ячейку правого нижнего угла помещают 1, число 2 располагают в ячейке первой строки так, как если бы она была под последней строкой. Аналогичным образом продолжают заполнять правый крайний столбец до тех пор, пока не достигнут числа 2(2k+1) −1;

Число 2(2k+1) помещают в предпоследнюю ячейку первой строки, считая справа налево, и заполняют (2k+1) клетку в направлении к 2;

Следующее число помещают в ячейку правого крайнего столбца, под числом 2(2k+1) −1 и в направлении к 1 полностью заполняют правый столбец;

Следующее число помещают в пустую ячейку первой строки и заполняют её полностью в направлении к 1;

Пустые ячейки нижней строки и крайнего левого столбца, кроме угловых ячеек, заполняются дополнительными числами к (2k+1)2+1, к соответственно противоположным. Угловые ячейки заполняются дополнительными числами до n²+1 к противоположным угловым;

(2k+1) число правого столбца после верхней угловой ячейки меняют местами с соответствующими числами левого столбца. Аналогично поступают с 2k числами первой строки, стоящих на втором и предпоследнем местах, с соответствующими числами нижней строки. Таким образом, получаем внешнюю рамку квадрата;

Остальные рамки заполняют аналогично;

Ниже изображён квадрат порядка 6, построенный по данному методу:

36	31	7	8	27	2
3	26	13	12	23	34
4	19	16	17	22	33
5	15	20	21	18	32
28	14	25	24	11	9
35	6	30	29	10	1

См. такжеПравить

• Латинский квадрат
• Ортогональный массив
• Магический квадрат
• Супермагический квадрат
• Магический куб
• Супермагический куб
• Судоку

ЛитератураПравить

• Холл М. Комбинаторика, пер. с англ. М. 1970.
• Dénes J. H., Keedwell A. D. Latin Squares and their Applications. Budapest. 1974.
• Laywine C.F., Mullen G.L. Discrete mathematics using Latin squares. New York. 1998.
• Малых А. Е., Данилова В. И. Об историческом процессе развития теории латинских квадратов и некоторых их приложениях (недоступная ссылка) // Вестник Пермского Университета. 2010. Вып. 4(4). С. 95-104.
• Тужилин М. Э. Об истории исследований латинских квадратов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012. Том 19, выпуск 2. С. 226—227.
• Чебраков Ю. В. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. СПб: СПбГТУ, 1995, 388 с. ISBN 5-7422-0015-3.

СсылкиПравить

• Магические квадраты (недоступная ссылка) (англ.)
• последовательность A164843 в OEIS
• М. Гарднер «Рецензия на книгу Кэтлин Оллереншоу и Дэвида Бри»
• H. Heinz Magic Squares, Magic Stars & Other Patterns (англ.)
• Н. Скрябина, В.Дубовской Магические квадраты
• Шахматный подход
• Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел
• Наименьшие магические квадраты из простых чисел
• «Общие формулы магических квадратов.»
• «Концентрические магические квадраты.»