Дизъюнктное объединение

Дизъюнктное объединение (также несвязное объединение или несвязная сумма) — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая, неформально говоря, заключается в объединении непересекающихся «копий» множеств. В частности дизъюнктное объединение двух конечных множеств, состоящих из $a$$a$ и $b$$b$ элементов, будет содержать ровно $a+b$$a+b$ элементов, даже если сами множества пересекаются.

Дизъюнктное объединение множеств $A$$A$ и $B$$B$ — это другое множество $A\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->B$$A \sqcup B$, которое состоит из всех элементов множеств $A$$A$ и $B$$B$, помеченных (проиндексированных) именем множества, из которого они происходят. Таким образом, элемент, принадлежащий как A, так и B, появляется дважды в несвязном объединении с двумя разными метками.

ОпределениеПравить

Пусть $\{A_i|i\in <!--\; \in \; -->I\}$$\{A_i | i \in I\}$  — семейство множеств, перечисленных индексами из $I$$I$ . Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество

$\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{⨆<!--\; ⨆\; -->}{A}_i=\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}\{(x,i)|x\in <!--\; \in \; -->A_i\}$$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}$ 

Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами $(x,i)$$(x, i)$ . Таким образом $i$$i$  есть индекс, показывающий, из какого множества $A_i$$A_{i}$  элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств $A_i$$A_{i}$  канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество

$A_i^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\{(x,i)|x\in <!--\; \in \; -->A_i\}.$$A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.$ 

При $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i,j\in <!--\; \in \; -->I:i\ne <!--\; \ne \; -->j$$\forall i, j \in I: i \neq j$  множества $A_i^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A_i^*$  и $A_j^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A_j^*$  не имеют общих элементов, даже если $A_i\cap <!--\; \cap \; -->A_j\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$A_i \cap A_j \neq \varnothing$ . В вырожденном случае, когда множества $A_i\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i\in <!--\; \in \; -->I$$A_i \forall i \in I$  равны какому-то конкретному $A$$A$ , дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества $A$$A$  и множества $I$$I$ , то есть

$\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{⨆<!--\; ⨆\; -->}{A}_i=A\times <!--\; \times \; -->I.$$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.$ 

ИспользованиеПравить

Иногда можно встретить обозначение $A+B$$A+B$  для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:

$\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{\sum <!--\; \sum \; -->}{A}_i.$$\sum_{i\in I}A_i.$ 

Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.

В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если $C$$C$  — это семейство множеств, то

$\underset{A\in <!--\; \in \; -->C}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}A$$\bigcup_{A \in C} A$ 

есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых $A$$A$  и $B$$B$  из $C$$C$  выполняется следующее условие:

$A\ne <!--\; \ne \; -->B⟹<!--\; ⟹\; -->A\cap <!--\; \cap \; -->B=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}.$$A \neq B \implies A \cap B = \varnothing.$ 

Вариации и обобщенияПравить

• Если все множества дизъюнктного объединения наделены топологией, то само дизъюнктное объединение топологических пространств (то есть множеств наделённых топологией) имеет естественную топологию — самую сильную топологию такую, что каждое включение является непрерывным отображением. Дизъюнктное объединение с этой топологией называется несвязным объединением топологических пространств.

См. такжеПравить

• Теория множеств
• Теория категорий
• Декартово произведение
• Мощность множества

ЛитератураПравить

• Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 9.
• Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — М.: Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266.