Разложение на ручки

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

Трёхмерный шар с тремя присоединёнными ручками.

$\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=M_{-<!--\; -\; -->1}\subset <!--\; \subset \; -->M_0\subset <!--\; \subset \; -->M_1\subset <!--\; \subset \; -->M_2\subset <!--\; \subset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\subset <!--\; \subset \; -->M_{m-<!--\; -\; -->1}\subset <!--\; \subset \; -->M_m=M$$\emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M$

где каждое $M_i$$M_{i}$ получается из $M_{i-<!--\; -\; -->1}$$M_{{i-1}}$ путём присоединения $i$$i$-ручек. Разложение на ручки для многообразия соответствует CW-разбиению в топологическом пространстве — разложение на ручки позволяет нам использовать методы исследования CW-комплексов, адаптированные к миру гладких многообразий. Таким образом, i-ручка является гладким аналогом i-ячейки. Разложения многообразий на ручки возникают из теории Морса. Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа.

ПредпосылкиПравить

Рассмотрим стандартное CW-разбиение n-сферы с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру $S^n$$S^{n}$  с помощью этого разбиения, в частности, гладкая структура вблизи 0-ячейки зависит от поведения характеристического отображения $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}:D^n\to <!--\; \to \; -->S^n$$\chi :D^{n}\to S^{n}$  в окрестности $S^{n-<!--\; -\; -->1}$$S^{{n-1}}$ .

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности. Если задана точка p на многообразии M, её замкнутая трубчатая окрестность $N_p$$N_p$  диффеоморфна $D^m$$D^{m}$ . Таким образом, мы получаем разбиение M на несвязное объединение $N_p$$N_p$  и $M\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathrm{int}<!--\; \; -->(N_p)$$M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ , склеенное по их общей границе. Главный вопрос здесь, является ли это склеивающее отображение диффеоморфизмом. Возьмём гладкую кривую вложенную в $M\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathrm{int}<!--\; \; -->(N_p)$$M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ , её трубчатая окрестность диффеоморфна $I\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->1}$$I\times D^{m-1}$ . Это позволяет записать $M$$M$  как объединение трёх многообразий, склеенных вдоль частей их границ:

1. $D^m$$D^{m}$ 
2. $I\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->1}$$I\times D^{m-1}$ 
3. дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в $M\setminus <!--\; \setminus \; -->\mathrm{int}<!--\; \; -->(N_p)$$M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ .

Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем $I\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->1}$$I\times D^{m-1}$  с $D^m$$D^{m}$ , отношение эквивалентности образуется путём вложения $(\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}I)\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->1}$$(\partial I)\times D^{m-1}$  в $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{D}^m$$\partial D^{m}$ , которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности.

Разложения на ручки ввёл Стивен Смейл. В оригинальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает, что осуществляется вложение $f:S^{j-<!--\; -\; -->1}\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->j}$$f:S^{j-1}\times D^{m-j}$  в $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}M$$\partial M$ . Пусть $H^j=D^j\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->j}$$H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$ . Многообразие $M{\cup <!--\; \cup \; -->}_f{H}^j$$M\cup _{f}H^{j}$  (другими словами, объединение M с j-ручкой вдоль f ) соответствует несвязному объединению $M$$M$  и $H^j$$H^{j}$  с отождествлением $S^{j-<!--\; -\; -->1}\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->j}$$S^{j-1}\times D^{m-j}$  с его образом в $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}M$$\partial M$ , то есть:

$M{\cup <!--\; \cup \; -->}_f{H}^j=\left(M\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->(D^j\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->j})\right)/\sim <!--\; \sim \; -->$$M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim$ 

где отношение эквивалентности $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  задаётся как $(p,x)\sim <!--\; \sim \; -->f(p,x)$$(p,x)\sim f(p,x)$  для всех $(p,x)\in <!--\; \in \; -->S^{j-<!--\; -\; -->1}\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->j}\subset <!--\; \subset \; -->D^j\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->j}$$(p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}$ .

Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Тогда разложение на ручки многообразия $M$$M$  определяется как постепенное присоединение к пустому множеству ручек, так чтобы в конечном счёте получилось $M$$M$  . Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0-ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j-ручки для некоторого фиксированного j) называется телом с ручками.

ТерминологияПравить

Возьмём объединение M с j-ручкой $H^j$$H^{j}$ :

$M{\cup <!--\; \cup \; -->}_f{H}^j=\left(M\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->(D^j\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->j})\right)/\sim <!--\; \sim \; -->$$M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim$ 

$f(S^{j-<!--\; -\; -->1}\times <!--\; \times \; -->\{0\})\subset <!--\; \subset \; -->M$$f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$  называется приклеивающей сферой (или подошвенной сферой).

$f$$f$  иногда называется оснащением приклеивающей сферы, поскольку оно даёт тривиализацию его нормального расслоения.

$\{0{\}}^j\times <!--\; \times \; -->S^{m-<!--\; -\; -->j-<!--\; -\; -->1}\subset <!--\; \subset \; -->D^j\times <!--\; \times \; -->D^{m-<!--\; -\; -->j}=H^j$$\{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}$  является опоясывающей сферой ручки $H^j$$H^{j}$  в $M{\cup <!--\; \cup \; -->}_f{H}^j$$M\cup _{f}H^{j}$ .

Многообразие, полученное присоединением $g$$g$  копий $k$$k$ -ручек к диску $D^m$$D^{m}$ , является (m, k)-телом с ручками рода g .

Представления кобордизмовПравить

Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}W=M_0\cup <!--\; \cup \; -->M_1$$\partial W=M_{0}\cup M_{1}$  и фильтрации

$W_{-<!--\; -\; -->1}\subset <!--\; \subset \; -->W_0\subset <!--\; \subset \; -->W_1\subset <!--\; \subset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\subset <!--\; \subset \; -->W_{m+1}=W$$W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W$ 

где $M_0$$M_{0}$  и $M_1$$M_{1}$  являются $m$$m$ -мерными многообразиями, $W$$W$ — $m+1$$m+1$ -мерным, $W_{-<!--\; -\; -->1}$$W_{{-1}}$  диффеоморфно $M_0\times <!--\; \times \; -->[0,1]$$M_{0}\times [0,1]$ , а $W_i$$W_i$  получается из $W_{i-<!--\; -\; -->1}$$W_{i-1}$  путём присоединения i-ручек. Поскольку разложения на ручки являются для многообразий аналогом разложений на ячейки топологических пространств, представления кобордизмов ручками для многообразий с границами являются аналогом относительных разложений ячеек пар пространств.

С точки зрения теории МорсаПравить

Если задана функция Морса $f:M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:M\to \mathbb {R}$  на компактном многообразии M без края, таком что критические точки $\{p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_k\}\subset <!--\; \subset \; -->M$$\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M$  функции $f$$f$  удовлетворяют $f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})$  и выполняется

$t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}$ ,

тогда для всех j $f^{-<!--\; -\; -->1}[t_{j-<!--\; -\; -->1},t_j]$$f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$  диффеоморфно $(f^{-<!--\; -\; -->1}(t_{j-<!--\; -\; -->1})\times <!--\; \times \; -->[0,1])\cup <!--\; \cup \; -->H^{I(j)}$$(f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}$ , где $I(j)$$I(j)$  — индекс критической точки $p_j$$p_{j}$ . Индекс $I(j)$$I(j)$  соответствует размерности максимального подпространства касательного пространства $T_{p_j}M$$T_{p_{j}}M$ , где гессиан отрицательно определён.

Если индексы удовлетворяют неравенству $I(1)⩽<!--\; ⩽\; -->I(2)⩽<!--\; ⩽\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->I(k)$$I(1)\leqslant I(2)\leqslant \cdots \leqslant I(k)$ , то получается разложение на ручки многообразия M. Более того, любое многообразие имеет такую функцию Морса, так что они имеют разложения на ручки. Похожим образом, если задан кобордизм $W$$W$  с $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}W=M_0\cup <!--\; \cup \; -->M_1$$\partial W=M_{0}\cup M_{1}$  и функция $f:W\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:W\to \mathbb {R}$ , которая является функцией Морса на внутренности, постоянна на границе и удовлетворяет свойству увеличения индекса, существует порождённое представление ручек кобордизма W.

Если $f$$f$  — функция Морса $M$$M$ , $-<!--\; -\; -->f$$-f$  также является функцией Морса. Соответствующее разложение на ручки/представление кобордизма называется двойственным разложением.

Некоторые главные теоремы и наблюденияПравить

• Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3-многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0- и 1-ручек является (3,1)-телом с ручками и объединение 3- и 2-ручек также даёт (3,1)-тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность 1-остова $T^1$$T^{1}$ , а другое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1-остова.
• Если присоединить две ручки в последовательности $(M{\cup <!--\; \cup \; -->}_f{H}^i){\cup <!--\; \cup \; -->}_g{H}^j$$(M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}$ , можно изменить порядок присоединения, обеспечивая $j⩽<!--\; ⩽\; -->i$$j\leqslant i$ , то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида $(M\cup <!--\; \cup \; -->H^j)\cup <!--\; \cup \; -->H^i$$(M\cup H^{j})\cup H^{i}$  для подходящих отображений присоединения.
• Граница $M{\cup <!--\; \cup \; -->}_f{H}^j$$M\cup _{f}H^{j}$  диффеоморфна $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}M$$\partial M$ , разрезанному вдоль оснащённой сферы $f$$f$ . Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса.
• Как следствие, m-многообразие M является границей m+1-многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из $S^m$$S^{m}$  хирургией на наборе оснащённых зацеплений в $S^m$$S^{m}$ . Например, известно, что любое 3-многообразие является границой 4-многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3-многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4-многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах. Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3-сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей.
• Теорема о h-кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.

См. такжеПравить

• Ручка Кассона^[en]
• Теория [ко]бордизмов
• CW-комплекс
• Тело с ручками
• Исчисление Кирби^[en]
• Разложение многообразия^[en]

ЛитератураПравить

• Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. — 1962. — Т. 84.
  • Статья перепечатана в книге:S. Smale. On the structure of manifolds // Topological library. Part 1: Cobordisms and their applications / Editor-in-charge: Louis H. Kauffman; Editors: S. P. Novikov, I. A. Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. — Т. 39. — (SERIES ON KNOTS AND EVERYTHING). — ISBN 978-981-270-559-4.
• Скорпан А. Удивительный мир четырёхмерных многообразий. — М.: МЦНМО, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7.

Основная литератураПравить

• Kosinksi A. Differential Manifolds. — Academic Press, 1992. — Т. 138. — (Pure and Applied Mathematics).
• Robert Gompf, Andras Stipsicz. 4-Manifolds and Kirby Calculus. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-0994-6.