Равносторонний многоугольник

Равносторонний многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют внутренние углы^[en] 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб, и квадрат является частным случаем ромба.

Равносторонний треугольник, всегда является правильным треугольником

Равносторонний четырёхугольник (ромб)

СвойстваПравить

Равносторонний многоугольник, который также и равноуголен является правильным многоугольником.

Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность (его вершины лежат на окружности) является правильным многоугольником (то есть многоугольником, одновременно и равносторонним, и равноугольным).

Описанный многоугольник (у которого существует окружность, касающаяся всех его сторон) является равносторонним в том и только в том случае, когда углы через один равны (то есть, при последовательной нумерации углов углы с номерами 1, 3, 5, … равны и углы 2, 4, … равны). Таким образом, если $n$$n$  — нечётно, описанный многоугольник является равносторонним в том и только в том случае, когда он правильный.

Все равносторонние четырёхугольники выпуклы^[en], но существуют вогнутые^[en] равносторонние пятиугольники, как и выпуклые равносторонние многоугольники с большим числом сторон.

Каждая главная диагональ шестиугольника делит его на четырёхугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной $a$$a$  существует главная диагональ $d_1$$d_{1}$ , такая что:

$\frac{d_1}{a}⩽<!--\; ⩽\; -->2$${\frac {d_{1}}{a}}\leqslant 2$ ,

и главная диагональ $d_2$$d_{2}$ , такая, что:

$\frac{d_2}{a}>\sqrt{3}$${\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}$ .

Существует конечная последовательность элементарных отражений, переводящих любой равносторонний многоугольник в правильный.

Теорема ВивианиПравить

Теорема Вивиани в части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до каждой из сторон обобщается для равносторонних многоугольников. Действительно, представив стороны многоугольника в виде векторов $(a_i,b_i)$$(a_{i},b_{i})$ , притом выбрав направления так, чтобы конец одного вектора был началом другого, сумма этих векторов равна нулю, а следовательно:

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i=0$$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0$ , $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i=0$$\sum _{i=1}^{n}b_{i}=0$ .

Без умаления общности можно считать, что все длины векторов равны 1. Повернув все векторы на 90° в одном направлении, получатся векторы $(-<!--\; -\; -->b_i,a_i)$$(-b_{i},a_{i})$ , и все они будут нормалями к сторонам. Уравнение прямой, проходящей через сторону $i$$i$  будет задаваться уравнением $-<!--\; -\; -->b_{i}x+a_{i}y+c_i=0$$-b_{i}x+a_{i}y+c_{i}=0$ . Поскольку длина вектора равна единице, расстояние до прямой от любой точки $(x,y)$$(x, y)$  плоскости будет равно $-<!--\; -\; -->b_{i}x+a_{i}y+c_i$$-b_{i}x+a_{i}y+c_{i}$  (расстояние может быть отрицательным — зависит от того, в какой полуплоскости лежит точка), а сумма расстояний равна $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->b_{i}x+a_{i}y+c_i)=-<!--\; -\; -->x\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i+y\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_i$$\sum _{i=1}^{n}(-b_{i}x+a_{i}y+c_{i})=-x\sum _{i=1}^{n}b_{i}+y\sum _{i=1}^{n}a_{i}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}$ , то есть, не зависит от положения точки.

Площадь и периметр равносторонних многоугольниковПравить

• Если $n$$n$  нечётно, то правильный $n$$n$ -угольник единичного диаметра даёт максимальную возможную площадь и периметр.
• Правильный $n$$n$ -угольник является единственным решением в задаче нахождения максимальной площади фигуры единичного диаметра, если $n$$n$  нечётно, но в задаче нахождения максимального периода при $n$$n$  нечётном решение единственно только для простых $n$$n$ .
• Если $n$$n$  чётно и $n⩾<!--\; ⩾\; -->6$$n\geqslant 6$ , то правильный $n$$n$ -угольник единичного диаметра не даёт ни максимальной площади, ни максимального периметра.
• Если $n$$n$  имеет нечётный делитель, то любой многоугольник с максимальным периметром является равносторонним.

См. такжеПравить

• Равносторонний пятиугольник^[en]

СсылкиПравить

• Equilateral triangle With interactive animation
• A Property of Equiangular Polygons: What Is It About? a discussion of Viviani’s theorem at Cut-the-knot.