Процесс Пуассона

См. также: Пальма поток

Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

$\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(A)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(t)dt$$\Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt$

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Классификация Править

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона Править

Пусть $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$ . Случайный процесс $\{X_t{\}}_{t\ge <!--\; \ge \; -->0}$$\{X_{t}\}_{t\geq 0}$  называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , если

1. $X_0=0$$X_{0}=0$  почти достоверное.
2. $\{X_t\}$$\{X_{t}\}$  — процесс с независимыми приращениями.
3. $X_t-<!--\; -\; -->X_s\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{P}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(t-<!--\; -\; -->s))$$X_{t}-X_{s}\sim \ \mathrm {P} (\lambda (t-s))$  для любых $0\leq s<t<\infty$ , где $\mathrm{P}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(t-<!--\; -\; -->s))$$\mathrm {P} (\lambda (t-s))$  обозначает распределение Пуассона с параметром $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(t-<!--\; -\; -->s)$$\lambda (t-s)$ .

Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс Править

• Пусть ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1,...,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n$$\xi _{1},...,\xi _{n}$  последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
• Пусть $N(t)$$N(t)$  — простой пуассоновский процесс с интенсивностью $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , не зависящий от последовательности ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1,...,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n$$\xi _{1},...,\xi _{n}$ .

Обозначим через $S_k$$S_{k}$  сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс $\{Y_t\}$$\{Y_{t}\}$  как $S_{N(t)}$$S_{N(t)}$  .

Свойства Править

• Времена между моментами скачков независимы и имеют экспоненциальное распределение $\text{Exp}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$${\text{Exp}}(\lambda )$ .
• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

$\mathbb{P}(X_t=k)=\frac{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^k{t}^k}{k!}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}t},k=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$\mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\ldots$ ,

то есть момент $k$$k$ -го скачка имеет гамма-распределение $\text{Γ}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},k)$${\text{Γ}}(\lambda ,k)$ .

• Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, непрерывные справа, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

$\mathbb{P}(X_{t+h}-<!--\; -\; -->X_t=0)=1-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}h+o(h)$$\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)$ 

$\mathbb{P}(X_{t+h}-<!--\; -\; -->X_t=1)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}h+o(h)$$\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)$ 

$\mathbb{P}(X_{t+h}-<!--\; -\; -->X_t>1)=o(h)$$\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)$  при $h\to <!--\; \to \; -->0$$h\to 0$ ,

где $o(h)$$o(h)$  обозначает «о малое».

Критерий Править

Для того чтобы некоторый случайный процесс $\{X_t\}$$\{X_{t}\}$  с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

1. $X_0=0$$X_{0}=0$ .
2. Процесс имеет независимые приращения.
3. Процесс однородный.
4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.
5. $P\{X_h\ge <!--\; \ge \; -->2\}=o(h)$$P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)$  при $h\searrow <!--\; \searrow \; -->0$$h\searrow 0$ .

Информационные свойства Править

• Пусть ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n$$\tau _{1},\dots ,\tau _{n}$  — моменты скачков процесса Пуассона. $T={\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_j-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{j-<!--\; -\; -->1}$$T=\tau _{j}-\tau _{j-1}$ .

Зависит ли $T$$T$  от предыдущей части траектории?
$\mathbb{P}(\{T>t+s\mid <!--\; \mid \; -->T>s\})$$\mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})$  — ?

Пусть $u(t)=\mathbb{P}(T>t)$$u(t)=\mathbb {P} (T>t)$ .

$u(t\mid <!--\; \mid \; -->s)=\frac{\mathbb{P}(T>t+s\cap <!--\; \cap \; -->T>s)}{\mathbb{P}(T>s)}=\frac{\mathbb{P}(T>t+s)}{\mathbb{P}(T>s)}$$u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)}}={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)}}$ 
$u(t\mid <!--\; \mid \; -->s)u(s)=u(t+s)$$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$ 
$u(t\mid <!--\; \mid \; -->s)=s(t)\iff <!--\; \iff \; -->u(t)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}$$u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}$ .
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

• Рассмотрим отрезок $[a,b]$$[a,b]$  на временно́й оси.

$X(b)-<!--\; -\; -->X(a)=n$$X(b)-X(a)=n$  — число скачков на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ .
Условное распределение моментов скачков ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n\mid <!--\; \mid \; -->X(b)-<!--\; -\; -->X(a)=n$$\tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n$  совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины $n$$n$  из $R[a,b]$$R[a,b]$ .

Плотность этого распределения $f_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}(t)=\frac{n!}{(b-<!--\; -\; -->a{)}^n}\mathbb{I}(a⩽<!--\; ⩽\; -->t_1⩽<!--\; ⩽\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->t_n⩽<!--\; ⩽\; -->b)$$f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (a\leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)$ 

Центральная предельная теорема Править

• Теорема.

$\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \infty }{\overset {x}{\rightrightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du$ 

Скорость сходимости:
$\sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}<x{\biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0}}{\sqrt {\lambda t}}}$ ,
где $C_0$$C_{0}$  — константа Берри-Эссеена.

Применение Править

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Также возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчётом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчётам.

Литература Править

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

См. также Править

• Поток однородных событий
• Теория массового обслуживания