Неравенство Берри — Эссеена

Неравенство Берри — Эссеена — неравенство, позволяющее оценить скорость сходимости суммы независимых случайных величин к случайной величине с нормальным распределением. Сам факт подобной сходимости носит в теории вероятностей название центральной предельной теоремы. Это неравенство было независимо выведено Эндрю Берри в 1941 и Карлом-Густавом Эссееном в 1942 годах.

Формулировка теоремыПравить

Случай одинаково распределённых величинПравить

Пусть дана бесконечная последовательность $X_n$$X_n$  независимых одинаково распределённых случайных величин таких, что $M(X_{n})=0,M(X_{n}^{2})=\sigma ^{2}>0,M(|X_{n}^{3}|)=\rho <\infty$ . Обозначим через $F_n$$F_{n}$  распределение суммы вида $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i/\left(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{n}\right)$$\sum _{i=1}^{n}X_{i}/\left(\sigma {\sqrt {n}}\right)$ . Тогда для всех $x$$x$  и $n$$n$ 

$\left|F_n(x)-<!--\; -\; -->\mathcal{N}(x)\right|\le <!--\; \le \; -->\frac{C\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^3\sqrt{n}}$$\left|F_{n}(x)-{\mathcal {N}}(x)\right|\leq {\frac {C\rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}$ ,

где $\mathcal{N}$$\mathcal{N}$  обозначает стандартное нормальное распределение, а $C$$C$  — это некоторая константа, значение которой продолжает уточняться. По последним данным, $C<0.4784$ .

Разнораспределённые случайные величиныПравить

Похожий результат можно получить и в случае, когда слагаемые распределены различно. Пусть $X_k$$X_{k}$  — это независимые случайные величины, $M(X_k)=0,M(X_k^2)={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_k^2,M(|X_k^3|)={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_k$$M(X_{k})=0,M(X_{k}^{2})=\sigma _{k}^{2},M(|X_{k}^{3}|)=\rho _{k}$ . Введём обозначения: $s_n^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2,r_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_i$$s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2},r_{n}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}$ . Обозначим через $F_n$$F_{n}$  распределение случайной величины вида $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i/s_n$$\sum _{i=1}^{n}X_{i}/s_{n}$ . Тогда для всех $x$$x$  и $n$$n$ 

$\left|F_n(x)-<!--\; -\; -->\mathcal{N}(x)\right|\le <!--\; \le \; -->C\frac{r_n}{s_n^3}$$\left|F_{n}(x)-{\mathcal {N}}(x)\right|\leq C{\frac {r_{n}}{s_{n}^{3}}}$ .

ЛитератураПравить

• В. Феллер. «Введение в теорию вероятностей и её приложения». — 2. — Книжный дом «Либроком», 2009. — Т. 2.
• Korolev, V. Yu.; Shevtsova, I. G. "On the upper bound for the absolute constant in the Berry-Esseen inequality" // Theory of Probability and its Applications. — 2010.