Псевдолокальность потока Риччи

Псевдолокальность — одно из свойств потока Риччи, которое качественно отличает его от линейных потоков, например, от уравнения теплопроводности. Свойство утверждает, что если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи для меньшей окрестности.

Псевдолокальность потока Риччи была доказана Перельманом.

Формулировка Править

Для положительного целого $n$$n$  существуют $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\delta ,\varepsilon >0$  такие, что выполняется следующее утверждение.

• Пусть $M$$M$  компактное $n$$n$ -мерное многообразие и $g_t$$g_{t}$  решение потока Риччи на $M$$M$  определённое во временном интервале $[0,{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2]$$[0,\varepsilon ^{2}]$ . Предположим для некоторой точки $x\in <!--\; \in \; -->M$$x \in M$  изопериметрическая константа в шаре $B(x,1{)}_{g_0}$$B(x,1)_{g_{0}}$  не меньше чем $(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->c_n$$(1-\delta )\cdot c_{n}$ , где $c_n$$c_n$  изопериметрическая константа $n$$n$ -мерного евклидова пространства и скалярная кривизна $g_0$$g_{0}$  не меньше $-<!--\; -\; -->1$$-1$  везде в $B(x,1{)}_{g_0}$$B(x,1)_{g_{0}}$ . Тогда

  $|{\mathrm{R}\mathrm{m}}_{g_t}|\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{t}+\frac{1}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2}$$|\mathrm {Rm} _{g_{t}}|\leq {\tfrac {1}{t}}+{\tfrac {1}{\varepsilon ^{2}}}$ 

во всех точках шара $B(x,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{)}_{g_t}$$B(x,\varepsilon )_{g_{t}}$  при $t\in <!--\; \in \; -->[0,{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2]$$t\in [0,\varepsilon ^{2}]$ .