Геодезические задачи

Геодезическая задача — математическая задача, связанная с определением взаимного положения точек (координат) принадлежащих какой-либо поверхности. Геодезические задачи подразделяются на прямую, обратную и задачу Потенота.

Прямая геодезическая задача (ПГЗ)Править

Прямая геодезическая задача (прямая линейно-угловая засечка) заключается в том, что по известным координатам одной точки, вычисляют координаты другой точки, для чего необходимо знать горизонтальное положение (длину) линии между этими точками и ориентирный (дирекционный) угол этой линии.

Решение прямой геодезической задачи выполняется по формулам:

$\{\begin{array}{c}{X}_2=X_1+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}X\\ Y_2=Y_1+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}Y\end{array}$$\left\{{\begin{matrix}X_{2}=X_{1}+\Delta X\\Y_{2}=Y_{1}+\Delta Y\end{matrix}}\right.$ 

Далее определяются приращениями координат из решения прямоугольных треугольников.

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}X=S\ast <!--\; \ast \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\\ \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}Y=S\ast <!--\; \ast \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\end{array}$$\left\{{\begin{matrix}\Delta X=S*{\operatorname {cos} \alpha }\\\Delta Y=S*{\operatorname {sin} \alpha }\end{matrix}}\right.$ 

Обратная геодезическая задача (ОГЗ)Править

Обратная геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам двух точек вычисляют горизонтальное положение (длину) линии между этими точками и дирекционный угол этой линии.

Дирекционный угол направления на ориентир может быть вычислен путём решения обратной геодезической задачи если известны плоские прямоугольные координаты исходной точки и ориентира.

Решение обратной геодезической задачи выполняется в следующем порядке:

1) вычисляют приращения координат:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}X=X_2-<!--\; -\; -->X_1.$$\Delta X=X_{2}-X_{1}.$ 

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}Y=Y_2-<!--\; -\; -->Y_1.$$\Delta Y=Y_{2}-Y_{1}.$ 

2) из решения прямоугольного треугольника определяют румб линии:

$\mathrm{t}\mathrm{g}r=\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}Y}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}X}$$\mathrm {tg} r={\frac {\Delta Y}{\Delta X}}$ .

откуда

$r=\mathrm{arctg}<!--\; \; -->\frac{\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}Y}{\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}X}$$r=\operatorname {arctg} {\frac {\pm \Delta Y}{\pm \Delta X}}$ 

3) по знакам приращений координат и по известному румбу линии определяют дирекционный угол линии

№	Четверть (направление)	связь румба и дирекционного угла	Знак приращения $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}X$$\Delta X$	Знак приращения $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}Y$$\Delta Y$
1	северо-восток	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=r$$\alpha =r$	+	+
2	юго-восток	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=180-<!--\; -\; -->r$$\alpha =180-r$	-	+
3	юго-запад	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=180+r$$\alpha =180+r$	-	-
4	северо-запад	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=360-<!--\; -\; -->r$$\alpha =360-r$	+	-

4) определяют горизонтальное положение (длину линии)

$S=\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}X}{\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$S={\frac {\Delta X}{\operatorname {cos} \alpha }}$ 

$S=\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}Y}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$S={\frac {\Delta Y}{\operatorname {sin} \alpha }}$ 

$S=\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{X}^2+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{Y}^2}$$S={\sqrt {\Delta X^{2}+\Delta Y^{2}}}$ .

Задача ПотенотаПравить

Основная статья: Задача Потенота

Задача Потенота (обратная геодезическая засечка) — одна из классических математических задач определения местоположения точки на местности по трём ориентирам с известными координатами; возникает, например, при определении местоположения корабля в море по трём маякам, расстояние до которых неизвестно. Имеет более 100 аналитических и графических способов решения и является частным случаем более общей задачи трилатерации. Приобрела важное практическое значение в самых разных областях (геодезии, навигации, корректировке ракетно-артиллерийского огня) и не потеряла актуальности по настоящее время.

Дополнительная литератураПравить

• Моторный A. Д. Задача Потенота (аналитическое решение) // Научные записки ЛПИ, серия геодезическая № 1. — 1949. — Вып. XV. — С. 165—171.
• Обратная однократная засечка // Справочник геодезиста. книга 2 / Под ред. В. Д. Большакова и Г. П. Левчука. — 3-е изд. перераб и доп.. — Москва: Недра, 1985. — С. 194. — 440 с.