Профиль Наварро — Френка — Уайта

Профиль Наварро — Френка — Уайта — аналитическая модель пространственного распределения плотности гало тёмной материи. Вид профиля является аппроксимацией данных, полученных в результате численного моделирования^[en] эволюции Вселенной в рамках модели ΛCDM. Предложен в 1996 году и назван в честь авторов соответствующей работы — Хулио Наварро^[es], Карлоса Френка^[en] и Саймона Уайта. Зависимость является одной из наиболее часто используемых для описания распределения массы в гало тёмной материи, несмотря на несовпадения с данными наблюдений для центральных областей галактик.

Математическое описаниеПравить

В профиле Наварро — Френка — Уайта плотность тёмной материи как функция радиуса определяется выражением

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(r)=\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0}{\frac{r}{R_s}{\left(1+\frac{r}{R_s}\right)}^2},$$\rho (r)={\frac {\rho _{0}}{{\frac {r}{R_{s}}}\left(1~+~{\frac {r}{R_{s}}}\right)^{2}}},$ 

где ρ₀ и R_s являются параметрами, меняющимися в зависимости от свойств гало.

Полная масса в пределах некоторого радиуса R_max равна

$M={\int <!--\; \int \; -->}_0^{R_{max}}4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(r)dr=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0{R}_s^3\left[\ln <!--\; \; -->\left(\frac{R_s+R_{max}}{R_s}\right)-<!--\; -\; -->\frac{R_{max}}{R_s+R_{max}}\right].$$M=\int _{0}^{R_{\max }}4\pi r^{2}\rho (r)\,dr=4\pi \rho _{0}R_{s}^{3}\left[\ln \left({\frac {R_{s}+R_{\max }}{R_{s}}}\right)-{\frac {R_{\max }}{R_{s}+R_{\max }}}\right].$ 

Интеграл для значения полной массы расходится, но зачастую рассматривают гало конечного размера, при этом радиусом гало считают вириальный радиус R_vir, который связан с параметром концентрации c и масштабным параметром следующим образом:

$R_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}}=c{R}_s.$$R_{\mathrm {vir} }=cR_{s}.$ 

Вириальным радиусом в данном случае обозначают радиус R₂₀₀, то есть радиус, на котором средняя плотность внутри сферы данного радиуса будет в 200 раз превышать критическую плотность. В таком случае полная масса в гало будет равна

$M={\int <!--\; \int \; -->}_0^{R_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}}}4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(r)dr=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0{R}_s^3\left[\ln <!--\; \; -->(1+c)-<!--\; -\; -->\frac{c}{1+c}\right].$$M=\int _{0}^{R_{\mathrm {vir} }}4\pi r^{2}\rho (r)\,dr=4\pi \rho _{0}R_{s}^{3}\left[\ln(1+c)-{\frac {c}{1+c}}\right].$ 

Значение параметра c для Млечного Пути равно примерно 10-15, а для других гало лежит в интервале от 4 до 40.

Интеграл от квадрата плотности равен

${\int <!--\; \int \; -->}_0^{R_{max}}4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(r{)}^{2}dr=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}{R}_s^3{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0^2\left[1-<!--\; -\; -->\frac{R_s^3}{(R_s+R_{max}{)}^3}\right],$$\int _{0}^{R_{\max }}4\pi r^{2}\rho (r)^{2}\,dr={\frac {4\pi }{3}}R_{s}^{3}\rho _{0}^{2}\left[1-{\frac {R_{s}^{3}}{(R_{s}+R_{\max })^{3}}}\right],$ 

поэтому среднее значение квадрата плотности в пределах радиуса R_max равно

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2{⟩<!--\; ⟩\; -->}_{R_{max}}=\frac{R_s^3{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0^2}{R_{max}^3}\left[1-<!--\; -\; -->\frac{R_s^3}{(R_s+R_{max}{)}^3}\right],$$\langle \rho ^{2}\rangle _{R_{\max }}={\frac {R_{s}^{3}\rho _{0}^{2}}{R_{\max }^{3}}}\left[1-{\frac {R_{s}^{3}}{(R_{s}+R_{\max })^{3}}}\right],$ 

что в случае вириального радиуса можно записать в виде

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2{⟩<!--\; ⟩\; -->}_{R_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}}}=\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0^2}{c^3}\left[1-<!--\; -\; -->\frac{1}{(1+c{)}^3}\right]\approx <!--\; \approx \; -->\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0^2}{c^3},$$\langle \rho ^{2}\rangle _{R_{\mathrm {vir} }}={\frac {\rho _{0}^{2}}{c^{3}}}\left[1-{\frac {1}{(1+c)^{3}}}\right]\approx {\frac {\rho _{0}^{2}}{c^{3}}},$ 

и среднее значение квадрата плотности в пределах радиуса R_s равно

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2{⟩<!--\; ⟩\; -->}_{R_s}=\frac{7}{8}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0^2.$$\langle \rho ^{2}\rangle _{R_{s}}={\frac {7}{8}}\rho _{0}^{2}.$ 

Применения для описания гало тёмной материиПравить

Профиль Наварро — Френка — Уайта является приближением для равновесной конфигурации тёмной материи. До наступления вириализации распределение тёмной материи отличается от профиля Наварро — Френка — Уайта, причём при моделировании наблюдается наличие структуры как в течение коллапса гало, так и после коллапса.

Наблюдательные данные по таким галактикам как Млечный Путь и M 31 скорее согласуются с моделью Наварро — Френка — Уайта. Между тем, такой вид профиля не совпадает с данными наблюдений для галактик низкой поверхностной яркости и карликовых галактик: в центральных областях наблюдается меньшее содержание тёмной материи, чем предсказывается. Это противоречие получило название проблемы сингулярного гало.

Как было показано, другие модели, в частности профиль Эйнасто, представляют профиль распределения тёмной материи не хуже, чем профиль Наварро — Френка — Уайта. Профиль Эйнасто имеет в центральной области конечный (нулевой) наклон, в отличие от имеющего бесконечную плотность профиля Наварро — Френка — Уайта. Вследствие ограниченных возможностей численного моделирования пока не известно, какая из моделей наилучшим образом описывает распределение плотности в центральных областях гало тёмной материи, поэтому этот вопрос остаётся открытым.