Противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр

Противополо́жно скру́ченный отсечённый ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₇₇, по Залгаллеру — М₁₄+М₆).

Противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	52 грани 105 рёбер 55 вершин Χ = 2
Грани	15 треугольников 25 квадратов 11 пятиугольников 1 десятиугольник
Конфигурация вершины	10(4.5.10) 10(3.42.5) 3x5+2x10(3.4.5.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J77, М14+М6
Группа симметрии	C5v

Составлен из 52 граней: 15 правильных треугольников, 25 квадратов, 11 правильных пятиугольников и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; среди пятиугольных граней 5 окружены десятиугольной и четырьмя квадратными, 1 — пятью квадратными, остальные 5 — четырьмя квадратными и треугольной; среди квадратных граней 5 окружены десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, 5 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, 5 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными, остальные 10 — двумя пятиугольными и двумя треугольными; среди треугольных граней 5 окружены пятиугольной и двумя квадратными, остальные 10 — тремя квадратными.

Имеет 105 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 45 рёбер — между пятиугольной и квадратной, 5 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между двумя квадратными, остальные 40 — между квадратной и треугольной.

У противоположно скрученного отсечённого ромбоикосододекаэдра 55 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 45 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём две части — любые два противолежащих пятискатных купола (J₅), — и один из них удалив, а другой повернув на 36° вокруг его оси симметрии. Описанная и полувписанная сферы полученного многогранника совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристикиПравить

Если противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины $a$$a$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}\left(100+15\sqrt{3}+\left(10+11\sqrt{5}\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)a^2\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{58,114}6508a^2,$$S={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+\left(10+11{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 58{,}1146508a^{2},$ 

$V=\frac{1}{6}\left(115+54\sqrt{5}\right)a^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{39,291}2785a^3.$$V={\frac {1}{6}}\left(115+54{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 39{,}2912785a^{3}.$ 

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt{5}}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{2,232}9505a;$$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;$ 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt{5}}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{2,176}2509a.$$\rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.$ 

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.