Пространство Орлича

Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций. Является обобщением пространств Лебега. Названы в честь развившего их теорию польского мамематика Владислава Орлича.

ОпределениеПравить

Определение 1Править

Пусть $M$$M$  — некоторая фиксированная $N$$N$ -функция, а $N$$N$  — дополнительная к ней $N$$N$ -функция; $G$$G$  — множество конечной меры.

Пространством Орлича $L_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$L_{M}^{*}$  называется совокупность всех измеримых функций $u(x)$$u(x)$ , удовлетворяющих условию $(u,v)=\int _{G}u(x)v(x)dx<\infty$  при всех $v(x)$$v(x)$ , таких что $\int _{G}N[u(x)]dx<\infty$ .

В пространстве Орлича задана норма Орлича: $\Vert <!--\; \Vert \; -->u{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_M=\underset{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(v,N)⩽<!--\; ⩽\; -->1}{sup}|{\int <!--\; \int \; -->}_{G}u(x)v(x)dx|$$\|u\|_{M}=\sup _{\rho (v,N)\leqslant 1}|\int _{G}u(x)v(x)dx|$ .

Определение 2Править

Пусть $M$$M$  — некоторая фиксированная $N$$N$ -функция.

Пространством Орлича $L_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$L_{M}^{*}$  называется множество всех измеримых функций $u(x)$$u(x)$ , имеющих конечную норму Люксембурга $\Vert <!--\; \Vert \; -->u{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{(M)}=inf\{k:{\int <!--\; \int \; -->}_{G}M\left(\frac{u(x)}{k}\right)dx⩽<!--\; ⩽\; -->1\}.$$\|u\|_{(M)}=\inf\{k:\int _{G}M\left({\frac {u(x)}{k}}\right)dx\leqslant 1\}.$ 

Эквивалентность определенийПравить

Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой $u$$u$  выполнены неравенства $\Vert <!--\; \Vert \; -->u{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{(M)}⩽<!--\; ⩽\; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->u{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_M⩽<!--\; ⩽\; -->2\Vert <!--\; \Vert \; -->u{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{(M)}.$$\|u\|_{(M)}\leqslant \|u\|_{M}\leqslant 2\|u\|_{(M)}.$ 

Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией.

СвойстваПравить

• $L_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$L_{M}^{*}$  — банахово пространство.

• $L_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$L_{M}^{*}$  сепарабельно тогда и только тогда, когда функция $M$$M$  удовлетворяет ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2$$\Delta_2$ -условию.

• Назовем классом Орлича $L_M$$L_{M}$  множество таких измеримых функций, для которых $\int _{G}M[u(x)]dx<\infty .$  Пространство Орлича $L_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$L_{M}^{*}$  совпадает с классом Орлича $L_M$$L_{M}$  тогда и только тогда, когда $M$$M$  удовлетворяет ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2$$\Delta_2$ -условию.

• Пространством $E_M$$E_{M}$  назовем наибольшее линейное пространство, вложенное в $L_M$$L_{M}$ . Если $M$$M$  удовлетворяет ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_2$$\Delta_2$ -условию, $E_M=L_M=L_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E_{M}=L_{M}=L_{M}^{*}$ . В противном случае $E_M⊊<!--\; ⊊\; -->L_M⊊<!--\; ⊊\; -->L_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E_{M}\varsubsetneq L_{M}\varsubsetneq L_{M}^{*}$ .

• $E_M$$E_{M}$  сепарабельно и является замыканием пространства непрерывных функций по норме Орлича.

• $L_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$L_{M}^{*}$  является сопряженным пространством к $E_N$$E_{N}$ , где $M$$M$  и $N$$N$  — дополнительные друг к другу $N$$N$ -функции.

• Если $M_1\prec <!--\; \prec \; -->M_2$$M_{1}\prec M_{2}$ , то $L_{M_2}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->L_{M_1}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$L_{M_{2}}^{*}\subset L_{M_{1}}^{*}$ . Верно и обратное.

ПримерыПравить

• Если $M(x)=\frac{1}{p}|x{|}^p,p\in <!--\; \in \; -->(1,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$M(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\ p\in (1,\infty )$  то $L_M^{\ast <!--\; \ast \; -->}=L_p$$L_{M}^{*}=L_{p}$ .

ЛитератураПравить

• Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит, 1958. — С. 271.