Волновое число

Волново́е число́ — быстрота роста фазы волны $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ по координате в пространстве:

Волновое число
$k$$\ k$
Размерность	L−1
Единицы измерения
СИ	м−1
СГС	см−1
Примечания
скаляр

$k=\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{dx}$$k={\frac {d\varphi }{dx}}$.

Может вычисляться как отношение $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ радиан к длине волны:

$k=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$.

Обозначение «$k$$k$» является наиболее стандартным. Измеряется в рад·м⁻¹, физическая размерность м⁻¹ (в системе СГС: см⁻¹).

Волновое число используется в физике, математике (преобразование Фурье) и таких приложениях как обработка изображений. Выступает пространственным аналогом угловой частоты $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/T$$\omega =2\pi /T$ ($T$$T$ — период).

В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак плюс (минус), если волна распространяется в положительном (отрицательном) направлении оси $x$$x$. В многомерном случае $k$$k$ — это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определённое выбранное направление.

В большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или, по крайней мере, почти монохроматической), поэтому производную в определении можно (для этих самых распространённых случаев) заменить выражением с конечными разностями:

$k=\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}$$k={\frac {\Delta \varphi }{\Delta x}}$.

Исходя из этого, можно получить разные практически удобные формулировки понятия:

• волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра);
• волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ метров;
• волновое число равно числу радиан волны на отрезке в 1 метр.

Смежной с волновым числом величиной является так называемая пространственная частота — количество периодов колебаний в пространстве на единицу длины (равное $1/\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$1/\lambda$). В спектроскопии пространственную частоту саму нередко именуют волновым числом и измеряют в см⁻¹. Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$.

Основные соотношенияПравить

Имеет место цепочка равенств:

$k\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{v_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}=\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{v_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}$$k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\varphi }}}={\frac {\omega }{v_{\varphi }}}$ ,

где $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  — длина волны, $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  (греческая буква «ню») — частота, $v_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$v_{\varphi }$  — фазовая скорость волны, $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — угловая частота.

Для фазы монохроматической бегущей волны можно записать:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$\varphi =kx-\omega t$ ,

а для самой волны:

$u(x,t)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0)$$u(x,t)={\rm {const}}\cdot \mathrm {cos} (kx-\omega t+\varphi _{0})$ 

или в комплексном виде:

$u(x,t)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)}$$u(x,t)={\rm {const}}\cdot e^{i(kx-\omega t)}$ ,

здесь ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0$$\varphi _{0}$  может быть спрятано в $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$${\rm {const}}$ ,

Для монохроматической стоячей волны:

$u(x,t)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(k\cdot <!--\; \cdot \; -->(x-<!--\; -\; -->x_0))\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(t-<!--\; -\; -->t_0))$$u(x,t)={\rm {const}}\cdot \mathrm {cos} (k\cdot (x-x_{0}))\mathrm {cos} (\omega \cdot (t-t_{0}))$ .

ЗамечанияПравить

Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (а конкретнее, через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна, вообще говоря, содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближённо быть описаны как волны с определённым волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа).

Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, то есть волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями.

В сущности, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с $x$$x$ , даже относительно быстро, — это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида:

$u(x,t)=e^{i\int <!--\; \int \; -->(kdx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}dt)}$$u(x,t)=e^{{i\int (kdx-\omega dt)}}$ .

для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.

Волновое число в квантовой физикеПравить

В квантовой физике волновое число связывается с компонентой импульса по данному направлению:

$p_x=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{k}_x$$p_{x}=\hbar k_{x}$ ,

где $p_x$$p_{x}$  — компонента импульса по направлению $x$$x$  (для одномерной системы — полный импульс), $k_x$$k_{x}$  — волновое число (компонента волнового вектора) по направлению $x$$x$  (для одномерной системы — просто волновое число), $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$  — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).

Таким образом, в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. То же относится к полному импульсу и волновому числу без указания направления волнового вектора:

$p=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}k$$p=\hbar k$ .

(Более того, поскольку постоянная Планка — универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать её равной 1. Тогда вообще $p_x=k_x$$p_{x}=k_{x}$  м $p=k$$p=k$ .) Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.

В важном частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближённо — для ультрарелятивистских частиц), можно написать

$k=\frac{W}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}c}$$k={\frac {W}{\hbar c}}$ ,

где $W$$W$  — энергия, $c$$c$  — скорость света в вакууме.

Волновое число в электродинамикеПравить

Уравнения плоской электромагнитной волны записываются как

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{E}=\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathbf{E}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2},\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{H}=\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathbf{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}$$\Delta \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}},\qquad \Delta \mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}$ .

Они же в координатной форме:

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{E}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{E}_y}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2},\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{H}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{H}_z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}$${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}},\qquad {\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}}$ .

Решение этих уравнений имеет вид:

$E_y=E_m\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->kx),H_z=H_m\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->kx)$$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx),\qquad H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$ .

Подстановка выражения для $E_y$$E_{y}$  в уравнение приводит к соотношению

$E_m{k}^2\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->kx)=\frac{1}{c^2}{E}_m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->kx)$$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\omega t-kx)$ ,

откуда очевидна связь

$k=\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{c}$$k={\frac {\omega }{c}}$ .

См. такжеПравить

• Волновой вектор