Простая функция

Проста́я фу́нкция — измеримая функция, принимающая конечное число значений.

ОпределениеПравить

Функция $f$$f$  определённая на измеримом пространстве $(X,\mathcal{F})$$(X,{\mathcal {F}})$  называется простой, если существует разбиение $X$$X$  на конечное число не пересекающихся измеримых множеств $A_1,\dots <!--\; \dots \; -->,A_n$$A_1,\dots,A_n$  и набор чисел $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_1,\dots,a_n$  (обычно вещественных или комплексных) таких что $f(x)=a_i$$f(x)=a_{i}$  для любого $x\in <!--\; \in \; -->A_i$$x\in A_{i}$ .

ЗамечанияПравить

• Если $(X,\mathcal{F})\equiv <!--\; \equiv \; -->(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F})$$(X,{\mathcal {F}})\equiv (\Omega ,{\mathcal {F}})$  — вероятностное пространство, то простая функция называется просто́й случа́йной величино́й.
• Если $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\mathcal{F},\mu)$  — пространство с мерой, $f:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:X\to \mathbb {R}$  простая, причём

$f(x)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{\mathbf{1}}_{A_i}(x),x\in <!--\; \in \; -->X$$f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X$  и $\mu (A_{i})<\infty ,\forall i=1,\ldots ,n$ ,

то $f$$f$  интегрируема по Лебегу, и

$\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}fd\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A_i)$$\int \limits _{X}f\,d\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})$ .

ПримерПравить

Пусть $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)$$(X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)$ , где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$  — борелевская сигма-алгебра на $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , а $m$$m$  — мера Лебега. Тогда функция

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&0<x<2\\0,&x=0\\-1,&-2<x<0\end{matrix}}\right.,x\in \mathbb {R}$ 

простая, ибо измерима и принимает три разных значения.

ЛитератураПравить

• Рудин, У. Основы математического анализа = Principles of mathematical analysis / Перевод с англ. В. П. Хавина. — М.: Мир, 1966. — 319 с.