Производные Виртингера

Производные Виртингера (операторы Виртингера, формальные комплексные частные производные) — обобщение производной на случай комплексно недифференцируемых комплексных функций. Производные Виртингера обозначаются тем же символом, что и частные производные: $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}$${\frac {\partial }{\partial z}}$ и $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}$${\frac {\partial }{\partial {\bar z}}}$. Для комплексной функции одной переменной $f(z)$$f(z)$ определяются выражениями

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)$${\frac {\partial f}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$,

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)$${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$.

Для комплексной функции нескольких переменных $f(z_1,\dots <!--\; \dots \; -->,z_n)$$f(z_{1},\ldots ,z_{n})$ производные Виртингера определяются выражениями

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}_i}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}-<!--\; -\; -->i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_i}\right)$${\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-i{\frac {\partial f}{\partial y_{i}}}\right)$,

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_i}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}+i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_i}\right)$${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+i{\frac {\partial f}{\partial y_{i}}}\right)$.

Оператор $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}$${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}$ также называют оператором Коши-Римана или производной Коши-Римана. Некоторые авторы используют термин «оператор Коши-Римана» для обеих производных Виртингера.

Связь с вещественной дифференцируемостьюПравить

Рассмотрим вещественно-дифференцируемую функцию $f:<!--\; :\; -->G\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$f\colon G\subseteq \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ . Её дифференциал представляется в виде

$df=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}dx+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}dy$$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy$ .

Обозначим $dz=dx+idy$$dz=dx+i\,dy$ , $d\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}=dx-<!--\; -\; -->idy$$d{\bar {z}}=dx-i\,dy$ . Подставляя новые обозначения и преобразуя выражения получим

$df=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)dz+\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\right)d\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$$df={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)dz+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)d{\bar {z}}$ .

Из этого выражения мотивация к определению и такому обозначению производных Виртингера становится очевидна. Записав коэффициенты при дифференциалах обозначениями производных Виртингера, получаем

$df=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}dz+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}d\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$$df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}d{\bar {z}}$ .

Представление дифференциала в виде $df=pdx+qdy$$df=p\,dx+q\,dy$  называется представлением дифференциала в вещественной форме, а в виде $df=adz+bd\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$$df=a\,dz+b\,d{\bar {z}}$  — представлением дифференциала в комплексной форме. Существование представления дифференциала в комплексной форме эквивалентно вещественной дифференцируемости. В случае существования такого представления, коэффициенты при дифференцилах определяются однозначно и могут быть вычислены при помощи соответствующих производных Виртингера по показанной выше формуле.

Для функций многих комплексных переменных всё аналогично. Представлением дифференциала в комплексной форме называется представление в виде $df=a_{1}d{z}_1+b_{1}d{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+a_{n}d{z}_n+b_{n}d{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_n$$df=a_{1}\,dz_{1}+b_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+\ldots +a_{n}\,dz_{n}+b_{n}\,d{\bar {z}}_{n}$ . Существование такого представления равносильно вещественной дифференцируемости и, если оно существует, оно единственно. При помощи производных Виртингера дифференциал функции несколько переменных в комплексной форме записывается следующим образом:

$df=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}_1}d{z}_1+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_1}d{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}_n}d{z}_n+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_n}d{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_n$$df={\frac {\partial f}{\partial z_{1}}}dz_{1}+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{1}}}d{\bar {z}}_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}dz_{n}+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{n}}}d{\bar {z}}_{n}$ .

Из существования всех производных Виртингера вещественной дифференцируемости ещё не следует, так как существование производных Виртингера эквивалентно существованию всех частных вещественных производных.

Связь с условиями Коши-РиманаПравить

Функция $f:<!--\; :\; -->G\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$f\colon G\subseteq \mathbb {C} \to \mathbb {C}$  комплексно-дифференцирума, если её дифференциал имеет вид

$df=adz$$df=a\,dz$ .

Из вышеизложенных свойств представления дифференциала в комплексной форме следует, что функция комплексно-дифференцируема тогда и только тогда, когда она вещественно-дифференцируема и вторая производная Виртингера $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}=0$${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$ . Проведя простые преобразования нетрудно убедиться, что условие $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}=0$${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$  эквивалентно условиям Коши-Римана:

$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y},\\ \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x},\end{array}$${\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}},\\{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}},\end{cases}}$ 

где $u(x,y)=\mathrm{Re}<!--\; \; -->f(z)$$u(x,y)=\operatorname {Re} f(z)$ , $v(x,y)=\mathrm{Im}<!--\; \; -->f(z)$$v(x,y)=\operatorname {Im} f(z)$ . Из этого становится понятным, почему $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}$${\frac {\partial }{\partial {\bar z}}}$  также называют оператором Коши-Римана. Таким образом, при помощи производных Виртингера можно получить наглядное объяснение необходимости условий Коши-Римана для комплексной дифференцируемости.

Для функций многих комплексных переменных аналогично можно получить, что комплексная дифференцируемость эквивалентна вещественной дифференцируемости вместе с равенством всех вторых производных Виртингера нулю:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_i}=0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i=1\dots <!--\; \dots \; -->n$${\frac {\partial {f}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}=0,\quad \forall i=1\ldots n$ .

Это условие эквивалентно системе уравнений Коши-Римана для функции многих переменных.

Существует также противоположное понятие для равенства первой производной Виртингера нулю — антиголоморфность. Функция $f$$f$  антиголоморфна в некотором открытом множестве, если она вещественно дифференцируема и

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}=0$${\frac {\partial {f}}{\partial z}}=0$  (для функции многих переменных $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}_i}=0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i=1\dots <!--\; \dots \; -->n$${\frac {\partial {f}}{\partial z_{i}}}=0,\quad \forall i=1\ldots n$ ).

Для антиголоморфной функции дифференциал представляется в виде $df=ad\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$$df=a\,d{\bar {z}}$  (или $df=a_{1}d{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+a_{n}d{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_n$$df=a_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+\ldots +a_{n}\,d{\bar {z}}_{n}$  для функций многих переменных). Антиголоморфность эквивалентна голоморфности сопряжённой функции.

См. такжеПравить

• Моногенная функция
• Условия Коши-Римана
• Дифференциал (математика)

ЛитератураПравить

• Чиа-чи Тун. О производных Виртингера и операторе, сопряженном к $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}$${\bar {\partial }}$ , а также об их приложениях (рус.) // Известия Российской академии наук. Серия математическая : журнал. — 2018. — Т. 82, вып. 6. — С. 172–199.
• Are Hjorungnes, David Gesbert. Complex-Valued Matrix Differentiation: Techniques and Key Results (англ.) // IEEE Transactions on Signal Processing : журнал. — 2007. — July (vol. 55, iss. 6). — P. 2740–2746.
• Joel H. Shapiro. Introduction to the Cauchy-Riemann operator (англ.) (pdf). Joel H. Shapiro Lecture Notes (26 апреля 2021). Дата обращения: 13 июля 2022.
• Н. С. Иманбаев. Задача о собственных значениях дифференциального оператора Коши–Римана с нелокальными краевыми условиями (рус.) // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки» : журнал. — 2014. — Т. 1, вып. 34. — С. 25-36.