Проекция Эккерта IV

Проекция Эккерта IV — это псевдоцилиндрическая картографическая проекция. Полюса представлены как отрезки прямых, длина этих отрезков равна половине длины экватора. Параллели представлены как прямые линии, расположенные через неравные интервалы и уменьшающиеся по длине к полюсам. Меридианы представляют собой эллиптические кривые, расположенные через равные интервалы.

Проекция Эккерта IV для земного шара

ФормулыПравить

Прямое преобразованиеПравить

Взяв $R$$R$  в качестве радиуса сферы и ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0$$\lambda _{0}$  как центральный меридиан, точку с полярными координатами $(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$(\varphi,\lambda)$  можно спроецировать в $x$$x$  и $y$$y$  по формулам:

$x=\frac{2}{\sqrt{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}}R(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0)(1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\approx <!--\; \approx \; -->0.4222382R(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0)(1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$x = \frac{2}{\sqrt{4\pi + \pi^2}} R\, (\lambda - \lambda_0)(1 + \cos \theta) \approx 0.4222382\, R\, (\lambda - \lambda_0)(1 + \cos \theta)$ ,

$y=2\sqrt{\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}R\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->1.3265004R\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$y = 2 \sqrt{\frac{\pi}{4 + \pi}} R \sin \theta \approx 1.3265004\, R \sin \theta$ ,

где $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\left(2+\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\right)\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\theta + \sin \theta \cos \theta + 2 \sin \theta = \left(2 + \frac \pi 2\right) \sin \varphi$ . Это равенство можно численно решить используя метод Ньютона.

Обратное преобразованиеПравить

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\arcsin <!--\; \; -->\left[y\frac{\sqrt{4+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{2\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}R}\right]\approx <!--\; \approx \; -->\arcsin <!--\; \; -->\left[\frac{y}{1.3265004R}\right]$$\theta = \arcsin \left[y \frac{\sqrt{4 + \pi}}{2 \sqrt\pi R}\right] \approx \arcsin \left[\frac{y}{1.3265004\, R}\right]$ 

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\arcsin <!--\; \; -->\left[\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{2+\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}\right]$$\varphi = \arcsin \left[\frac{\theta + \sin \theta \cos \theta + 2 \sin \theta}{2 + \frac \pi 2}\right]$ 

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0+x\frac{\sqrt{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}}{2R(1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}\approx <!--\; \approx \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_0+\frac{x}{0.4222382R(1+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$$\lambda = \lambda_0 + x \frac{\sqrt{4\pi + \pi^2}}{2R (1 + \cos \theta)} \approx \lambda_0 + \frac{x}{0.4222382\, R\, (1 + \cos \theta)}$ 

СсылкиПравить

• Eckert IV Projection — Wolfram MathWorld