Программа минимальных моделей

Программа минимальных моделей — это часть бирациональной классификации алгебраических многообразий. Её цель — построение как можно более простой бирациональной модели любого комплексного проективного многообразия. Предмет основывается на классической бирациональной геометрии поверхностей, изучаемой итальянской школой и в настоящее время находящейся в активном изучении.

Основные принципыПравить

Основная идея теории заключается в упрощении бирациональной классификации многообразий путём нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое «так просто, насколько это возможно». Точное значение этой фразы развивается вместе с развитием самой теории. Первоначально для поверхностей это значило нахождение гладкого многообразия $X$$X$ , для которого любой бирациональный морфизм^[en] $f:X\to <!--\; \to \; -->X^{\prime }$$f:X\rightarrow X'$  с гладкой поверхностью $X^{\prime }$$X'$  является изоморфизмом.

В современной формулировке целью теории является следующее. Предположим, что нам задано проективное многообразие $X$$X$ , которое, для простоты, предполагается несингулярным. Возможны два варианта:

• Если $X$$X$  имеет размерность Кодайры^[en] $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}(X,K_X)=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\kappa (X,K_{X})=-\infty$ , мы хотим найти многообразие $X^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$$X^\prime$ , бирациональное к $X$$X$ , и морфизм $f:X^{\prime }\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X'\rightarrow Y$  в проективное многообразие $Y$$Y$ , такое, что $\mathrm {dim} Y<\mathrm {dim} X^{\prime }$ , с антиканоническим классом^[en] $-<!--\; -\; -->K_F$$-K_{F}$  слоя общего вида $F$$F$ , являющегося обильным. Такой морфизм называется пространством расслоения Фано.
• Если $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}(X,K_X)$$\kappa (X,K_{X})$  не меньше 0, мы хотим найти $X^{\prime }$$X'$ , бирациональное $X$$X$  с каноническим неф-классом^[en] $K_{X^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$$K_{X^{\prime }}$ . В этом случае $X^{\prime }$$X'$  является минимальной моделью для $X$$X$ .

Вопрос о несингулярности многообразий $X^{\prime }$$X'$  и $X$$X$ , приведённых выше, является важным. Выглядит естественной надежда, что если мы начинаем с гладкого $X$$X$ , мы всегда найдём минимальную модель или пространство расслоения Фано внутри категории гладких многообразий. Однако это неверно, так что становится необходимым рассмотрение сингулярных многообразий. Возникающие сингулярности называются терминальными сингулярностями^[en].

Минимальные модели поверхностейПравить

Основная статья: Классификация Энриквеса — Кодайры

Любая неприводимая комплексная алгебраическая кривая является бирациональной к единственной гладкой проективной кривой, так что теория для кривых тривиальна. Случай поверхности был сначала исследован итальянцами в конце девятнадцатого — начале двадцатого века. Теорема о стягивании Кастельнуово, по существу, описывает процесс построения минимальной модели любой гладкой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\rightarrow Y$ должен стягивать −1-кривую в гладкую точку, и наоборот, любая такая кривая может быть гладко стянута. Здесь −1-кривая является гладкой рациональной кривой C с самопересечением C.C = −1. Любая такая кривая должна иметь K.C=−1, что показывает, что если канонический класс является неф-классом, то поверхность не имеет −1-кривых.

Из теоремы Кастельнуово следует, что для построения минимальной модели для гладкой поверхности, мы просто стягиваем все −1-кривые на поверхности, и результирующее многообразие Y либо является (единственной) минимальной моделью с неф-классом K, либо линейчатой поверхностью (которая является такой же, как и 2-мерное пространство расслоения Фано, и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность, бирациональная к X, не единственна, хотя существует единственная поверхность, изоморфная произведению проективной прямой и кривой.

Минимальные модели в пространствах высоких размерностейПравить

В размерностях, больших 2, вовлекается более мощная теория. В частности, существуют гладкие многообразия^[en] $X$$X$ , которые не бирациональны любому гладкому многообразию $X^{\prime }$$X'$  с каноническим неф-классом. Главное концептуальное продвижение 1970-х и ранних 1980-х годов — построение минимальных моделей остаётся возможным с тщательным описанием возможных сингулярностей моделей. (Например, мы хотим понять, является ли $K_{X^{\prime }}$$K_{X'}$  неф-классом, так что число пересечений $K_{X^{\prime }}\cdot <!--\; \cdot \; -->C$$K_{X'}{\cdot }C$  должно быть определено. Следовательно, по крайней мере, наши многообразия должны иметь $n{K}_{X^{\prime }}$$nK_{X'}$  дивизор Картье для некоторого положительного числа $n$$n$ .)

Первым ключевым результатом является теорема о конусах^[en] Мори, которая описывает структуру конуса кривых $X$$X$ . Коротко, теорема показывает, что начиная с $X$$X$ , можно по индукции построить последовательность многообразий $X_i$$X_{i}$ , каждое из которых «ближе», чем предыдущее к неф-классу $K_{X_i}$$K_{X_{i}}$ . Однако процесс может встретить трудности — в некоторой точке многообразие $X_i$$X_{i}$  может стать «слишком сингулярным». Гипотетическое решение этой проблемы — перестройка^[en], вид хирургии коразмерности 2 на $X_i$$X_{i}$ . Неясно, существует ли требуемая перестройка, или что процесс всегда прервётся (то есть что достигнем минимальную модель $X^{\prime }$$X'$  за конечное число шагов.) Мори показал, что перестройки существуют в 3-мерном случае.

Существование более общих логперестроек установил Шокуров для размерностей три и четыре. Впоследствии это обобщили для более высоких размерностей Биркар^[en], Каскини, Хэкон, и Маккернан, опираясь на более ранние работы Шокурова, Хэкона и Маккернана. Они поставили также некоторые другие задачи, включая обобщение лог-канонических колец и существование минимальных моделей для лог-многообразий общего вида.

Задача обрыва лог-перестроек в пространствах большей размерности остаётся объектом активного исследования.