Принцип двойственности (теория множеств)

Принцип двойственности в теории множеств — утверждение о свойствах операций над множествами.

ФормулировкаПравить

Пусть дано множество $M$$M$ . Рассмотрим систему всех его подмножеств. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества $M$$M$ , которая формулируется лишь с использованием операций объединения ($A\cup <!--\; \cup \; -->B$$A\cup B$ ), пересечения ($A\cap <!--\; \cap \; -->B$$A\cap B$ ) и дополнения ($\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$${\overline {A}}$ ), то верна также и теорема, получающаяся из данной путём замены операции объединения и пересечения соответственно операциями пересечения и объединения, пустого множества $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\emptyset$  — множеством $M$$M$ , а множества $M$$M$  — пустым множеством.

ПримерыПравить

• Теорема. Для любых подмножеств $A$$A$ , $B$$B$  и $C$$C$  множества $M$$M$  верно, что $(A\cup <!--\; \cup \; -->B)\cap <!--\; \cap \; -->C=(A\cap <!--\; \cap \; -->C)\cup <!--\; \cup \; -->(B\cap <!--\; \cap \; -->C)$$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$ .

Из данной (верной) теоремы по принципу двойственности может быть получено аналогичное утверждение со следующим равенством: $(A\cap <!--\; \cap \; -->B)\cup <!--\; \cup \; -->C=(A\cup <!--\; \cup \; -->C)\cap <!--\; \cap \; -->(B\cup <!--\; \cup \; -->C)$$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ .

• Теорема. Для любого подмножества $A$$A$  множества $M$$M$  верно, что $A\cap <!--\; \cap \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$A\cap {\overline {A}}=\emptyset$ .

Из данной (верной) теоремы по принципу двойственности может быть получено аналогичное утверждение со следующим равенством: $A\cup <!--\; \cup \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}=M$$A\cup {\overline {A}}=M$ .

Важно отметить, что принцип двойственности применим только в тех случаях, когда утверждение теоремы постулирует равенство двух выражений над множествами; в других случаях он может нарушаться. Например, для любых подмножеств $A$$A$  и $B$$B$  множества $M$$M$  верно, что $A\cap <!--\; \cap \; -->B\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A\cup <!--\; \cup \; -->B$$A\cap B\subseteq A\cup B$ ; однако двойственное утверждение ($A\cup <!--\; \cup \; -->B\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A\cap <!--\; \cap \; -->B$$A\cup B\subseteq A\cap B$ ) неверно.

ЛитератураПравить

• Двойственности принцип // Гоголь — Дебит. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 7).