Первообразный корень из единицы

Первообразный корень (или примитивный корень) степени $m$$m$ из единицы в поле $K$$K$ ― это такой элемент $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->K$$\xi \in K$, что ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^m=1$$\xi ^{m}=1$ и ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}\ne 1$$\xi ^{\ell }\not =1$ для любого натурального $\ell <m$.

Если $K$$K$ ― поле комплексных чисел, то степени первообразного корня $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ образуют циклическую группу корней порядка $m$$m$ из единицы.

СвойстваПравить

• Если в поле $K$$K$  существует первообразный корень степени $m$$m$ , то $m$$m$  взаимно просто с характеристикой поля $K$$K$ .
• Алгебраически замкнутое поле содержит первообразный корень любой степени, взаимно простой с характеристикой поля.
• Если $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  ― первообразный корень степени $m$$m$ , то для любого $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$  взаимно простого с $m$$m$ , элемент ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$$\xi ^{\ell }$  также является первообразным корнем. Откуда, в частности, следует, что число всех первообразных корней степени $m$$m$  (когда они существуют) равно значению функции Эйлера $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(m)$$\varphi(m)$ .
• В поле комплексных чисел первообразные корни степени m имеют вид:

  $e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}/m}=\cos <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}{m}+i\sin <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}{m}$$e^{2\pi {i}\ell /m}=\cos {\frac {2\pi \ell }{m}}+i\sin {\frac {2\pi \ell }{m}}$ ,

  где $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$  взаимно просто с $m$$m$ .

• В конечном поле ${\mathbb{F}}_q$$\mathbb {F} _{q}$ , где q — степень простого числа, первообразный корень степени $q-<!--\; -\; -->1$$q-1$  является образующим (циклической) мультипликативной группы этого поля и называется примитивным элементом.

ЛитератураПравить

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Milne, James S. Algebraic Number Theory  (неопр.). Course Notes (2014). Дата обращения: 1 октября 2014. Архивировано 17 декабря 2014 года.