Приближение сильно связанных электронов

В приближении сильно связанных электронов предполагается, что полный гамильтониан $H$$H$ системы можно приблизить гамильтонианом изолированного атома, сосредоточенного на каждом узле кристаллической решётки. Атомные орбитали ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n$$\psi _{n}$, которые являются собственными функциями гамильтониана одного атома $H_{at}$$H_{{at}}$, как предполагают, являются очень маленькими на расстояниях, превышающих постоянную решётки. Это — то, что подразумевается под сильной связью. Далее предполагается, что любые добавки к атомному потенциалу $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}U$$\Delta U$, из которых нужно получить полный гамильтониан системы $H$$H$, являются заметными только когда атомные орбитали являются маленькими. Решение стационарного уравнения Шрёдингера для единственного электрона $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$, как предполагают, является линейной комбинацией атомных орбиталей

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{b}_n{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$\phi ({\vec {r}})=\sum _{n}b_{n}\psi _{n}({\vec {r}})$.

Это приводит к матричному уравнению для коэффициентов $b_n$$b_n$ и блоховских энергий $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ в форме

$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k})=E_m-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_m+\underset{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}\ne <!--\; \ne \; -->0}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_m(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R})e^{i\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}}{b_m+\underset{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}\ne <!--\; \ne \; -->0}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_m(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R})e^{i\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}}$$\varepsilon ({\vec {k}})=E_{m}-{\beta _{m}+\sum _{{{\vec {R}}\neq 0}}\gamma _{m}({\vec {R}})e^{{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}} \over b_{m}+\sum _{{{\vec {R}}\neq 0}}\alpha _{m}({\vec {R}})e^{{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}}}$,

где $E_m$$E_m$ — энергия $m$$m$-го атомного уровня,

${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_m=-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_m^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}U(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$$\beta _{m}=-\int \psi _{m}^{*}({\vec {r}})\Delta U({\vec {r}})\phi ({\vec {r}})d{\vec {r}}$,

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_m(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R})=\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_m^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R})d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$$\alpha _{m}({\vec {R}})=\int \psi _{m}^{*}({\vec {r}})\phi ({\vec {r}}-{\vec {R}})d{\vec {r}}$,

и

${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_m(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R})=-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_m^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}U(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R})d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$$\gamma _{m}({\vec {R}})=-\int \psi _{m}^{*}({\vec {r}})\Delta U({\vec {r}})\phi ({\vec {r}}-{\vec {R}})d{\vec {r}}$

интегралы перекрытия.

Модель сильно связанных электронов обычно используется для вычислений электронной зонной структуры и энергетических зон в статическом режиме. Однако динамический отзыв систем можно изучать в комбинации с другими методами, наподобие приближения случайных фаз (RPA).

СсылкиПравить

• J.C. Slater and G.F. Koster, Phys. Rev. 94, 1498 (1954).
• C.M. Goringe, D.R. Bowler and E. Hernández, Rep. Prog. Phys. 60, 1447 (1997).
• N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976).